I уровень

1.1. Вычислите определитель:

1) 2)3)4)

1.2. Вычислите определитель с помощью правила треугольников:

1) 2)3)

1.3. Найдите миноры М₁₁, М₂₁ и алгебраические дополнения А₁₃, А₃₂ для матрицы

1.4. Вычислите определитель, используя разложения по 1-й строке и по 2-му столбцу:

1) 2)

3) 4)

II уровень

2.1. Вычислите определитель, используя разложение по первой строке:

1) 2)

3) 4)

2.2. Вычислите определитель:

1) 2)

3) 4)

2.3. Вычислите определитель:

1) 2)

2.4. Используя метод эффективного понижения порядка, вычислите определитель:

1) 2)

2.5. Вычислите определитель приведением к треугольному виду:

1) 2)

2.6. Вычислите степень определителя:

1) 2)

III уровень

3.1. Решите уравнение:

1) 2)

3.2. Определите, при каких действительных a, b, c и d уравнение имеет два равных действительных корня.

3.3. Вычислите определитель:

1) 2)

3.4. Найдите определитель:

1) 2)

3) 4)

3.5. Решите неравенство:

1) 2)

3.6. Постройте график функции если

3.7. Вычислите определитель:

1) 2)

3) где

3.8. Вычислите определитель:

1) 2)

13.3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Квадратная матрица B, удовлетворяющая совместно с заданной матрицей A того же порядка равенствам называетсяобратной к матрице A и обозначается A^–1. Обратная матрица A^–1 существует при условии, что A – невырожденная матрица, т. е.

Обратную матрицу можно вычислить следующими способами:

1-й способ. Используют формулу

(13.4)

где С – матрица, составленная из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A.

2-й способ. Для данной матрицы A n-го порядка строится прямоугольная матрица размерапутем приписывания к матрицеA справа единичной матрицы n-го порядка, затем с помощью элементарных преобразований над строками матрица приводится к видуТогда

Рангом матрицы A размера называется максимальный порядокr_A отличных от нуля ее миноров. При этом под минором k-го порядка матрицы понимают определитель, составленный из элементов матрицы A, стоящих на пересечении k ее строк и k столбцов. Любой ненулевой минор порядка r называется базисным минором матрицы A.

Основные методы нахождения ранга матрицы A

Метод окаймляющих миноров

Если в матрице A найден ненулевой минор M_k порядка k, а все окаймляющие его миноры-го порядка равны нулю, то ранг матрицы равен k (r_A = k).

Метод элементарных преобразований

Используя элементарные преобразования строк, матрицу приводят к трапециевидной или треугольной форме, далее ранг находят по определению.

Как частный случай последнего метода, может быть рассмотрен метод нулей и единиц: элементарным преобразованием строк матрицу приводят к эквивалентной, состоящей или из нулевых строк и столбцов, или из строк и столбцов, в которых содержится ровно одна единица, а остальные элементы – нулевые. Количество единиц в такой матрице равно ее рангу.

Пример 1. Исследовать матрицу A на невырожденность, найти А^–1, если она существует, результат проверить.

Решение. Вычислим определитель матрицы A

Невырожденность матрицы A означает, что существует единственная обратная ей матрица А^–1.

1-й способ. Используя формулу (13.4), найдем алгебраические дополнения:

Тогда и по формуле (13.4) имеем:

(13.5)

2-й способ. Воспользуемся эквивалентностью матриц и

Следовательно,

Для контроля правильности результата достаточно проверить условия Действительно,

Аналогично

Пример 2. Решить матричное уравнение

Решение. Запишем уравнение в виде

(13.6)

где A, B, C – заданные матрицы.

Умножим уравнение (13.6) слева на А^–1 и справа на В^–1. Тогда справедливо или, учитывая определение обратной матрицы,

Найдем А^–1 и В^–1:

Тогда

Значит,

Пример 3. Доказать, что матрица A является ортогональной, т. е. для нее выполняется равенство

Решение. Найдем А^Т и проверим равенство

Мы доказали ортогональность матрицы A.

Пример 4. Найти ранг матрицы

Решение. 1-й способ. Воспользуемся методом окаймляющих миноров. Фиксируем ДляМ₂ окаймляющими будут два минора 3-го порядка:

Значит, r_A = 2, а базисным минором можно считать, например, М₂.

2-й способ. Преобразуем матрицу A:

Ранг последней матрицы равен двум, следовательно, таков же ранг исходной матрицы.

З а м е ч а н и е. О том, что ранг матрицы A равен 2, можно было судить на третьем шаге преобразований (во 2-м способе), когда получили нулевую строку и ненулевой минор (выделен) максимального порядка 2.

Задания