I уровень

1.1. Используя цилиндрические координаты, вычислите тройной интеграл по области, ограниченной указанными поверхностями:

1)

2)

3)

4)

1.2. Используя сферические координаты, вычислите тройной интеграл по области, ограниченной указанными поверхностями:

1)

2)

II уровень

2.1. Используя цилиндрические координаты, вычислите тройной интеграл по области, ограниченной указанными поверхностями:

1)

2) 

3)

2.2. Используя сферические координаты, вычислите тройной интеграл по области, ограниченной указанными поверхностями:

1)

2)

3) 

III уровень

3.1. Используя цилиндрические координаты, вычислите тройной интеграл по области, ограниченной указанными поверхностями:

1)

2)

(У к а з а н и е :

3)

3.2. Используя сферические координаты, вычислите тройной интеграл по области, ограниченной указанными поверхностями:

1)

2)

3)

25.3. Геометрические и физические приложения

тройных интегралов

1. Объем v пространственной области V находят по формулам:

(25.7)

в зависимости от того, какая система координат используется: декартова, цилиндрическая или сферическая. Здесь подразумевается, что область V, заданная в декартовых координатах, преобразуется в пространственную область в цилиндрической системе координат или областьв сферических координатах.

2. Если f(x; y; z) – непрерывная функция, выражающая объемную плотность распределения массы внутри пространственного тела V, то масса m области V вычисляется по формуле

(25.8)

3. Для нахождения координат центра масс пространственного тела V применяют формулы:

(25.9)

где m – масса области V, вычисляемая по формуле (25.8);

и  – соответственно абсцисса, ордината и аппликата искомой точки.

Пример 1. Вычислить с помощью тройного интеграла в декартовой системе координат объем тела V, ограниченного указанными поверхностями:

1)

2)

Решение. 1) Изобразим тело V (рис. 25.12). Расставим пределы интегрирования с учетом того, что область элементарна в направлении оси Oz:

Рис. 25.12

С помощью первой из формул (25.7) найдем объем данного тела:

2) Изобразим тело V (рис. 25.13).

Рис. 25.13

Так как область V элементарна в направлении оси Oz, пределы интегрирования таковы: Найдем объем данного тела с помощью первой из формул (25.7):

Пример 2. Вычислить с помощью тройного интеграла в цилиндрической системе координат объем тела V, ограниченного указанными поверхностями:

1) 2)

Решение. 1) Изобразим тело V (рис. 25.14).

Рис. 25.14

Перейдем к цилиндрическим координатам, применив формулы (25.3), и расставим пределы интегрирования в новой системе координат: Используя формулы (25.4), а также вторую из формул (25.7), перейдем к повторному интегралу и вычислим его:

2) Изобразим тело V (рис. 25.15).

Рис. 25.15

Применив формулы (25.3), перейдем к цилиндрическим координатам. Запишем уравнение заданной сферы в цилин­дрических координатах. Посколькуто выделив полный квадрат относительноz, получим: илиВ нашем случае задана нижняя часть сферы, поэтому

Расставим пределы интегрирования в цилиндрической системе координат, приняв во внимание, что область интегрирования элементарна в направлении оси Oz:

Воспользуемся формулой (25.4) перехода к повторному интегралу и вычислим его, применив соотношение (25.7):

Пример 3. Вычислить с помощью тройного интеграла в сферической системе координат объем тела V, ограниченного указанными поверхностями:

1)

2)

Решение. 1) Изобразим тело V (рис. 25.16).

Перейдем к сферическим координатам, применив формулы (25.5). Записав уравнение плоскости в сферических координатах,получим: Откуда т. е.Расставим пределы интегрирования в сферической системе координат, используя то, что

Воспользуемся формулой (25.6) перехода от тройного интеграла к повторному в случае сферической системы координат. Вычислим полученный повторный интеграл, используя соотношение (25.7).

Рис. 25.16

2) Изобразим тело V (рис. 25.17).

Рис. 25.17

Перейдем к сферическим координатам, применив формулы (25.5). Запишем уравнение конуса в сферических коор­динатах:т. е. Следовательно,Расставим пределы интегрирования в сферической системе координат: Воспользуемся формулой (25.6) перехода к интегралу в сферической

системе координат и вычислим его. Согласно третьей из формул (25.7), имеем следующее:

Пример 4. Найти массу призмы, ограниченной поверхностями и заполненной массой с плотностью

Решение. Нарисуем указанную призму (рис. 25.18).

Рис. 25.18

Она элементарна в направлении оси Oz, причем По формуле (25.8) найдем массу призмы с учетом данной плотности:

Пример 5. Найти массу шара с плотностью распределения массы

Решение. Изобразим указанное тело V (рис. 25.19).

Так как тело ограничено сферой перейдем к сферическим координатам, воспользовавшись формулами (25.5).Запишем уравнение этой сферы в сферических координатах: т. е. Определим границы интегрирования в сферических координатах:

Рис. 25.19

Найдем массу шара с учетом данной плотности, применив формулу (25.8):

Пример 6. Найти координаты центра масс тела, ограниченного поверхностями и заполненного массой с плотностью

Решение. Нарисуем указанное тело V (рис. 25.20).

Рис. 25.20

Перейдем к цилиндрическим координатам, воспользовавшись формулами (25.3). Определим границы интегрирования в цилиндрических координатах с учетом того, что область интегрирования элементарна в направлении оси Oz: Найдем массу тела с учетом данной плотности, применив формулу (25.8):

С помощью первой из формул (25.9) найдем абсциссу центра масс данного тела:

С помощью второй из формул (25.9) найдем ординату центра масс:

С помощью третьей из формул (25.9) найдем аппликату центра масс:

Центр масс тела находится в точке

Задания