I уровень

1. Вычислите тройной интеграл по области, ограниченной указанными поверхностями:

1)

2)

3)

4)

II уровень

1. Вычислите тройной интеграл по области, ограниченной указанными поверхностями:

1)

2)

3)

4)

III уровень

1. Вычислите тройной интеграл по области, ограниченной указанными поверхностями:

1)

2)

3)

4)

25.2. Вычисление тройных интегралов

в цилиндрической и сферической

системах координат

Если область интегрирования при вычислении тройного интеграла представляет собой тело, ограниченное цилиндром или некоторой его частью, целесообразно перейти к цилиндрическим координатам. Схематически переход от декартовой системы координат к цилиндрической изображен на рис. 25.6.

Рис. 25.6

Формулы перехода от декартовых координат x, y и z к цилиндрическим координатам иz имеют вид:

(25.3)

где (или),

Формула замены переменных в тройном интеграле при переходе к цилиндрическим координатам имеет вид:

(25.4)

где – область в цилиндрической системе координат, соответствующая области V в декартовой системе координат;

f(x; y; z) – функция, непрерывная в этой области.

Вычисление тройных интегралов в цилиндрических координатах основано на понятии правильной пространственной области.

Область V называют правильной пространственной областью в направлении оси Oz в цилиндрической системе координат, если:

1) переход от декартовых координат к цилиндрическим осуществляется по формулам (25.3);

2) всякая прямая, проходящая через внутреннюю точку пространственной области V параллельно оси Oz, пересекает только один раз (только одну) «поверхность входа» и только один раз (только одну) «поверхность выхода»;

3) проекция D пространственной области V на плоскость хОу является правильной в полярной системе координат.

Аналогично в случае перехода к цилиндрическим координатам по формулам

или

вводят понятие правильной пространственной области в направлении оси Оу или оси Ох в цилиндрической системе координат.

Рис. 25.7

Если область интегрирования при вычислении тройного интеграла представляет собой тело, ограниченное сферой или некоторой ее частью, целесообразно перейти к сферическим координатам. Схематически переход от декартовой системы координат к сферической изображен на рис. 25.7.

Формулы перехода от декартовых координат x, y и z к сферическим координатам r, иисходя из приведенного чертежа, имеют вид:

(25.5)

где (или),

Формула замены переменных в тройном интеграле при переходе к сферическим координатам имеет вид:

(25.6)

где – область в сферической системе координат, соот­ветствующая областиV в декартовой системе координат;

f(x; y; z) – функция, непрерывная в этой области.

Пример 1. Используя цилиндрические координаты, вычислить трой­ной интеграл по области, ограниченной указанными поверхностями:

1)

2)

Решение. 1) Нарисуем область интегрирования V (рис. 25.8).

Рис. 25.8

Перейдем к цилиндрическим координатам, применив формулы (25.3). Учитывая, что область V, ограниченная частью кругового цилиндра, является элементарной в направлении оси Oz, определим пределы изменения координат: Воспользуемся формулой (25.4) замены переменных в интеграле при переходе к цилиндрической системе координат. Затем перейдем к повторному интегралу и вычислим его. Получим:

2) Изобразим область интегрирования V (рис. 25.9).

Рис. 25.9

Применив формулы (25.3), пе­рейдем к цилиндрическим координатам. Расставим пределы интегрирования в цилиндрической системе координат с учетом того, что область интегрирования является элементарной в направлении оси Oz. Данная пространственная область ограничена круговым параболоидом уравнение которого в цилиндрических коор-

динатах имеет вид и частью конусаприс уравнениемв цилиндрических координатах. Таким образом, пределы интегрирования в новой системе координат:

Перейдем к тройному интегралу в цилиндрических координатах по формуле (25.4), затем – к повторному интегралу и вычислим его:

Пример 2. Используя сферические координаты, вычислить тройной интеграл по области, ограниченной указанными поверхностями:

1)

2)

Решение. 1) Область представляет собой часть шара, расположенного в первом октанте (рис. 25.10).

Рис. 25.10

Перейдем к сферическим координатам, применив формулы (25.5). Уравнение сферы в сферической системе координат: С учетом этого пределы интегрирования в сферической системе координат: Воспользуемся формулой (25.6) замены переменных при переходе к интегралу в сферической системе координат,

затем перейдем к повторному интегралу и вычислим его:

2) Изобразим тело V (рис. 25.11).

Рис. 25.11

Применим формулы (25.5). Запишем уравнение заданной сферы с центром в точке (0; 0; R) радиуса R в сферических координатах: откудаРасставим пределы интегрирования в сферической системе координат: Воспользуемся формулой (25.6) и, перейдя к повторному интегралу, вычислим его:

Задания