1.2. Множества и операции над ними. Числовые

множества. Некоторые обозначения

Множество – первичное неопределяемое понятие. Обозначают множества прописными латинскими буквами A, B, C, X, …. Под множеством понимают совокупность (группу, набор и т. д.) элементов, которые характеризуются одинаковыми свойствами.

Множества изображают диаграммами (кругами) Эйлера-Венна (рис. 1.2).

Рис. 1.2

Если элемент а принадлежит множеству А, то пишут a  A; если элемент а не принадлежит множеству А, то пишут a  A.

Множество может задаваться с указанием его характеристического свойства. Например, если A состоит из элементов x, для которых выполняется свойство P(x), то пишут

Если каждый элемент множества A есть элемент множества B, то множество A называется подмножеством множества B (или говорят, что A включено в B), пишут A  B (или B  A) (рис. 1.3). Два множества A, B называются равными (A = B), если они состоят из одних и тех же элементов: A = B тогда и только тогда, когда A  B и B  A. Множество, которое не имеет элементов, называется пустым и обозначается символом .

К основным операциям над множествами относят пересечение, объединение, разность, дополнение.

Пересечением множеств A, B называется множество A  B, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат и множеству A, и множеству B (рис. 1.4).

Объединением множеств A, B называется множество A  B, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат или множеству A, или множеству B (хотя бы одному из множеств A, B) (рис. 1.5).

Разностью множеств A\B называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат множеству A и не принадлежат множеству B (рис. 1.6).

Дополнением множества A до конкретного (универсального) множества U называется множество , которое определяется равенством(рис. 1.7).

A  B A  B A  B

Рис. 1.3 Рис. 1.4 Рис. 1.5

А\В

Рис. 1.6 Рис. 1.7

Для произвольных множеств A, B, C справедливы свойства:

1) коммутативность объединения;

2) коммутативность пересечения;

3) ассоциативность объединения;

4) ассоциативность пересечения;

5) ,дистрибутивность;

6) ;

7) ;

8) ;

9) .

Пусть – количество элементов множествА и В соответственно, тогда справедлива формула

(1.8)

Рассматривают следующие числовые множества:

1) множество натуральных чисел;

2) множество целых чисел;

3) Q – множество рациональных чисел: это множество всех обыкновенных дробей, т. е. чисел вида где

Множество Q определяется также, как множество всех бесконечных десятичных периодических дробей;

4) I – множество иррациональных чисел: это множество всех бесконечных десятичных непериодических дробей;

5) R – множество действительных чисел: .

Верны соотношения:

, ,.

Произведение первых n натуральных чисел называется факториалом, для него введен специальный символ:

.

По определению принимают 0! = 1.

Для всякого определены следующие понятия:

целая часть (антье) числа x, определяется как целое число такое, что

;

дробная часть (мантисса), определяется равенством

;

–знак числа (сигнум), определяется следующим образом:

Если некоторые действительные числа, тосумму этих величин обозначают с использованием знака суммы:

,

где k – индекс суммирования.

Свойства суммы:

1) – сумма не зависит от того, какой буквой обозначен индекс суммирования;

2)

3)

4) – свойство сдвига индекса суммирования.

Пример 1. Доказать равенство

(1.9)

Доказательство. Пусть Согласно определению разности, получаемиПоскольку выполняются оба эти условия, то это возможно только в случаеПолучаем, чтоит. е.Этим мы доказали, что

(1.10)

Допустим, что Тогдаино это означает, что

Два условия икоторые имеют место, означают, чтот. е.

(1.11)

Равенство (1.9) доказано, поскольку установлена справедливость включений (1.10) и (1.11).

Пример 2. На первом курсе учатся 200 студентов. Из них своевременно сдали зачет по математике 175 человек, а по физике – 185 человек. Не сдали зачет ни по математике, ни по физике 10 человек. Сколько студентов сдали оба зачета?

Решение. Пусть A – множество всех студентов курса; B – множество студентов, которые сдали зачет по математике, C – по физике (рис. 1.8).

Согласно условию задачи, ,,,и надо найти.

Рис. 1.8

Находим, сколько человек сдали хотя бы один зачет:

Используем далее формулу (1.8), из которой выражаем

Получаем

Пример 3. Сократить дробь

Решение. Выделим общий множитель в числителе и знаменателе. Очевидно, что

Поэтому

Пример 4. Вычислить сумму

Решение. Получим последовательно слагаемые, придавая значения 1, 2, …, 7:

Вычисляя, приходим к ответу

Задания