I уровень

1.1. Пользуясь определением предела функции в точке по Гейне, докажите, что:

1) 2)

3) 4)

1.2. Найдите предел функции в точке:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

II уровень

2.1. Найдите предел:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

2.2. Определите, является ли функция бесконечно малой или бесконечно большой приесли:

1) 2)

3) 4)

Ш уровень

3.1. Пользуясь определением предела функции в точке по Гейне, докажите, что предел не существует:

1) 2)3)

3.2. Вычислите предел функции в точке:

1)

2)

3.3. Вычислите предел при всех возможных значениях p и g:

1)2)

3.4. Вычислите

3.5. При каких a и b равен:

1) ; 2) 0; 3)

3.6. Вычислить предел при всех возможных значениях p и q

10.4. Первый и второй замечательные пределы

При вычислении пределов часто используются первый и второй замечательные пределы.

Первый замечательный предел:

(10.9)

Если прито верна более общая формула первого замечательного предела:

(10.10)

Первый замечательный предел позволяет устранить неопределенность типа

Второй замечательный предел:

(10.11)

или

(10.12)

Если прито обобщением формулы (10.11) является формула

(10.13)

Если прито обобщением формулы (10.12) является формула

(10.14)

Второй замечательный предел позволяет устранить неопределенность типа

Для того чтобы использовать, например, формулу (10.13), необходимо быть уверенным, что реализованы следующие пять условий (акцентируем их подчеркиванием):

1) 2)

3) 4)

5) при

Эти условия достигаются тождественным преобразованием выражения, стоящего под знаком предела.

Пример 1. Вычислить предел функции:

1) 2)

3) 4)

Решение. 1) Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела:

Последний предел, согласно формуле (10.9), равен 1.

Так как при выражение 2х также стремится к нулю, то, умножая числитель и знаменатель на 2 и используя первый замечательный предел, получим:

Следовательно,

2) При непосредственном вычислении предела получаем неопределенность типа

Умножим числитель и знаменатель исходного выражения на и преобразуем его к виду, когда можно использовать первый замечательный предел (формула (10.10)):

3) Выделим целую часть в основании степени:

Так как при исходное выражение представляет собой неопределенность типато, используя второй замечательный предел (формула (10.13)), имеем:

4) В данном случае получаем неопределенность вида Преобразуем функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел (формула (10.14)). Получим:

Для вычисления применим первый замечательный предел:

Таким образом, получаем ответ:

Задания

I уровень

1.1. Вычислите предел функции, используя первый замечательный предел:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

1.2. Вычислите предел функции, используя второй замечательный предел:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

II уровень

2.1. Найдите предел функции:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

2.2. Найдите предел функции:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7)

8)

9)

10)

Ш уровень

3.1. Найдите предел функции, сделав соответствующую замену переменной:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

3.2. Вычислите предел функции с помощью второго замечательного предела:

1) 2)

3) 4)

152 153