I уровень
1.1. Последовательностьзадана формулойНайдите
1.2. Запишите первые пять членов последовательности:
1) 2)
3) 4)
1.3. Последовательность задана формулой Найдите
1.4. Найдите первые пять членов последовательности заданной реккурентно:
1) и2) и
3) и4)и
1.5. Докажите, что последовательность, заданная формулой общего члена, является возрастающей:
1) 2)3)
1.6. Докажите, что последовательность, заданная формулой общего члена, является убывающей:
1) 2)3)
1.7. Изобразите первые семь членов последовательности на числовой оси, если:
1) 2)3)
1.8. Известно, что членами последовательности являются числа, каждое из которых, начиная с 0, на две единицы больше предыдущего. Запишите первые пять членов этой последовательности.
II уровень
2.1. Запишите первые шесть членов последовательности (xn):
1)
2)
2.2. Запишите первые шесть членов последовательности:
1) четных, натуральных чисел, кратных числу 3;
2) натуральных чисел, которые при делении на 7 дают остаток 5;
3) натуральных чисел, кратных числам 3 и 4.
Укажите формулу n-го члена последовательности.
2.3. Определите, содержится ли среди членов числовой последовательности число:
1) –30; 2) –72; 3) –100; 4) 60.
2.4. Исследуйте последовательность на ограниченность:
1) 2)3)
4) 5)6)
7) 8)9)
2.5. Изобразите графически (в системе координат Оху) 10 членов последовательности (xn), если:
1) 2)
3) 4)
III уровень
3.1. Найдите первые девять членов последовательности Фибоначчи, заданной реккурентно:
и
3.2. Запишите первые шесть членов последовательности приближенных значений с точностью до(по недостатку).
3.3. Определите, для каких членов последовательности (xn), заданной формулой не выполняется условие
3.4. Последовательность (xn) задана формулой
Определите сколько членов этой последовательности принадлежит промежутку (0,03; 0,32).
3.5. Последовательность (xn) задана формулой Установите, верно ли равенство
10.2. Предел последовательности
Число а называется пределом последовательности (хn), если для любого положительного числа найдется такой номер n() (зависящий от ), что, начиная с этого номера (т. е. для всех n n()), будет выполняться неравенство
(10.1)
Обозначают:
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела – расходящейся.
Геометрическая интерпретация предела: если число а является пределом последовательности (хn), то в произвольную, сколь угодно малую -окрестность точки а попадают все члены данной последовательности, начиная с некоторого номера n().
Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.
Всякая монотонная и ограниченная последовательность сходится.
Если последовательность не является ограниченной, то она не имеет предела.
Если предел последовательности равен нулю, то ее называют бесконечно малой.
Свойства бесконечно малых последовательностей:
1) сумма и произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью;
2) произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой;
3) для того чтобы выполнялось равенство необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенствогде– бесконечно малая последовательность.
Последовательность называется бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа М найдется такой номер что для всехn, начиная с этого номера выполняется неравенство
Если последовательность (хn) – бесконечно большая, то говорят, что она стремится к бесконечности, и пишут
Последовательность не имеет предела в двух случаях:
1) предел не определен;
2) последовательность является бесконечно большой.
Если (xn) – бесконечно большая последовательность, то – бесконечно малая последовательность.
Если (xn) – бесконечно малая последовательность, то – бесконечно большая.
Если последовательности (xn), (уn) имеют пределы, то справедливы следующие свойства:
1) где
2)
3)
4) где
Свойства 2) и 3) обобщаются, соответственно, на любое конечное число слагаемых и множителей.
При вычислении пределов числовых последовательностей могут возникнуть неопределенности вида Для того чтобы вычислить предел в случае неопределенности, необходимо тождественно преобразовать выражение, стоящее под знаком предела.
Пример 1. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что
Решение. Выбираем произвольное число Согласно определению, число 3 является пределом последовательности (xn), если сможем указать такой номер что для всех членов последовательности с номерамивыполняется неравенство (10.1), которое в нашем случае имеет вид:
(10.2)
Неравенство (10.2) равносильно неравенству
т. е. или
Поскольку ииз последнего неравенства получаем:
В качестве номера члена последовательности, начиная с которого выполняется неравенство (10.2), может быть выбрано натуральное число
Этим мы доказали, что существует номер члена последовательности, начиная с которого выполняется неравенство (10.1) для заданной последовательности. Значит, число 3 – предел этой последовательности.
Пример 2. Вычислить предел последовательности:
1) 2)
3)
Решение. 1) Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, так как непосредственно вычисление приводит к неопределенности типа
Разделим далее числитель и знаменатель дроби на старшую степень, т. е. на n3, и получим:
так как при последовательности и стремятся к нулю.
Таким образом, приходим к ответу:
2) Так как по определению факториала
то получаем:
Делением на старшую степень выражения, т. е. на n3, убеждаемся, что
3) Поскольку при имеемито выражениедает неопределенность типаУмножив и разделив выражениена сопряженный множительполучим:
Разделим числитель и знаменатель на старшую степень, т. е. на тогда:
Таким образом, получаем ответ:
Задания