Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МАТЕМАТИКА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ / Часть 2 / 10. Предел последовательности и функции.doc
Скачиваний:
144
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
1.46 Mб
Скачать

I уровень

1.1. Пользуясь определением числовой последовательности, докажите, что:

1) 2)

3) 4)

1.2. Вычислите предел:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

II уровень

2.1. Вычислите предел:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

2.2. Докажите, что последовательность (xn) не имеет предела:

1) 2)

III уровень

3.1. Задана последовательность …;… Найдите Определите, каким должно бытьn, для того чтобы разность между un и ее пределом по абсолютной величине не превзошла 10–4.

3.2. Вычислите предел последовательности:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7)

8)

9)

10)

3.3. Найдите предел последовательности:

1) если

2) если

3.4. Вычислите предел числовой последовательности (xn), заданной формулой общего члена, при различных значениях параметров a, b, c:

1) 2)

10.3. Предел функции

Рассмотрим функцию определенную в некоторой окрестности точки(в самой точкеданная функция может быть не определена).

Число А называется пределом функции в точке(по Гейне), если для любой последовательности(xn), сходящейся к последовательностьсоответствующих значений функции сходится к А.

Обозначают:

или при

Если функция в точкеимеет предел, то он единственный.

Если функции иимеют пределы в точкето справедливы формулы:

где С = const; (10.3)

(10.4)

(10.5)

(10.6)

Если непосредственное вычисление предела по формулам (10.3)–(10.6) приводит к неопределенности типа то необходимо вначале тождественно преобразовать выражение, стоящее под знаком предела.

Для всех элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство

(10.7)

которое означает, что операции вычисления предела и функции переставимы.

Кроме предела функции в точке рассматривают предел функции на бесконечности: число A называется пределом функции при(или), если для всякой последовательности(xn), (или) припоследовательностьсоответствующих значений функции сходится к числуA.

Обозначают:

Для предела функции на бесконечности также справедливы формулы (10.3)–(10.6).

Функция называетсябесконечно малой функцией при (или), если

Функция называетсябесконечно большой при если для всякой последовательности(xn), при(или) последовательность соответствующих значений функцииявляется бесконечно большой.

Обозначают:

(10.8)

Если – бесконечно большая функция прито она не имеет предела (предел – это число!). Запись формулы (10.8) следует воспринимать лишь как обозначение бесконечно большой функции.

Пример 1. Пользуясь определением предела функции по Гейне, доказать, что

Решение. Пусть (xn) – произвольная последовательность, которая сходится к 3 т. е.

Тогда

Пример 2. Вычислить предел функции в точке:

1) 2)3)

Решение. 1) При непосредственном использовании формул (10.3)–(10.6) получаем неопределенность вида

Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим дробь на общий множитель. Получим:

2) Непосредственное вычисление приводит к неопределенности типа Для раскрытия приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

Далее разлагаем числитель и знаменатель на множители. Получаем:

3) Непосредственное вычисление предела при приводит к неопределенности типаУмножим числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы выраженийи 2, чтобы в числителе получить разность кубов:

Поскольку неопределенность типа сохранилась, разложим многочлены на множители и сократим:

Переход к пределу при дает:

Пример 3. С помощью вычислений определить, является ли функция бесконечно малой или бесконечно большой при

1) 2)

Решение. 1) Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо рассмотреть

Непосредственное вычисление этого предела приводит к неопределенности типа Вынесем в числителе и знаменателе старшее основание, т. е.за скобки:

Так как показательная функция приявляется убывающей, то приполучим:

Тогда, согласно определению, функция является бесконечно большой.

2) Вычислим При выражение в скобках представляет собой разность двух бесконечно больших величинУмножив и разделив функцию на выражение получим:

В результате преобразований возникла неопределенность типа а поэтому разделим числитель и знаменатель на старшую степень, т. е. наx. Получим:

Следовательно, по определению функция является бесконечно малой.

Задания