10. Предел последовательности и функции

10.1. Числовая последовательность

Числовой последовательностью называется функция, определенная на множестве натуральных чисел, которая каждому натуральному числу n ставит в соответствие число . Числовую последовательность обозначают, т. е.

–n-й член последовательности, а формуланазываетсяформулой общего члена последовательности.

Зная функциюи номерn, можно вычислить любой член последовательности.

Последовательность, у которой все члены равны между собой, называется постоянной.

Последовательность может быть задана:

1. аналитическим способом (задается формула n-го члена последовательности, по которому могут быть найдены все остальные);

2. реккурентным способом (задается первый или несколько первых членов последовательности и указывается правило, позволяющее найти последующие члены последовательности через предыдущие);

3. геометрически (точками на числовой оси, соответствующими конкретным значениям n);

4. графическим способом (задаются точки на координатной плоскости);

5. словесным описанием;

6. табличным способом.

Последовательность называется возрастающей (строго), если является возрастающей (строго) числовой функцией, т. е. если

Последовательность называется убывающей (строго), если – убывающая (строго) числовая функция, т. е.

Последовательность называетсянеубывающей, если каждый ее член, начиная со второго, не меньше предыдущего, т. е.

Последовательность (х_n) называется невозрастающей, если каждый ее член, начиная со второго, не больше предыдущего, т. е.

Возрастающая и убывающая последовательности называются монотонными последовательностями.

Последовательность называетсяограниченной, если существуют такие числа m и M, что выполняется неравенство

Если существует такое число M, чтото последовательность называетсяограниченной сверху; если существует такое число m, чтото последовательность называетсяограниченной снизу.

Последовательность ограничена тогда и только тогда, когда существует такое положительное числоC, что выполняется неравенство

Пример 1. Определить, является ли число 28 членом последовательности если

Решение. Число 28 является членом последовательности, если найдется такой номер для которого выполняется равенствоРешим это квадратное уравнениет. е.Числаследовательно, число 28 не является членом данной последовательности.

Пример 2. Вычислить первые пять членов последовательности , если. Определить, для каких членов последовательностивыполняется условие.

Решение. Подставляя в формулу общего члена значение n = 1, 2, 3, 4, 5, получим:

Решим неравенство

Решением этого неравенства будут Поэтому, для любых членов последовательности с номерами от 1 до 20 включительно выполняется условие

Пример 3. Последовательность задана следующим образом (реккурентно): и. Вычислить первые четыре ее члена.

Решение. Первый член последовательности известен: Для вычисленияв заданной формуле дляположимПолучим:

Для вычисления в формулевыбираемТогдавыразится через найденный член

Аналогично:

Пример 4. Последовательность задана формулой общего члена:Задать таблично первые восемь ее членов, изобразить их геометрически и графически.

Решение. Вычислим первые восемь членов заданной последовательности и заполним таблицу:

n	1	2	3	4	5	6	7	8
	2

Для геометрической иллюстрации изобразим на числовой оси члены последовательности (рис. 10.1).

Рис. 10.1

В системе координат укажем точки плоскости, которые имеют координатыдля(рис. 10.2).

Рис. 10.2

Пример 5. Доказать, что последовательностьявляется строго убывающей.

Решение. Если последовательность строго убывающая, то выполняется неравенство или

Вычисляем:

Составим отношение:

Поскольку то верно неравенство

Получаем для любых натуральныхn.

Значит, последовательность является строго убывающей.

Пример 6. Исследовать последовательность на ограниченность.

Решение. Запишем формулу общего члена последовательности следующим образом:

Так как итоа поэтому

и

Следовательно, последовательность является ограниченной сверху.

Поскольку неравенство выполняется для всех то

Значит, последовательность является также ограниченной снизу.

Приходим к выводу, что – ограниченная последовательность.

Задания