I уровень

1.1.Вычислите несобственный интеграл или установите его расходимость:

1) 2)3)

4) 5)6)

II уровень

2.1.Вычислите несобственный интеграл или установите его расходимость:

1) 2)3)

4) 5)6)

7) 8)9)

10) 11)12)

13) 14)15)

16) 17)18)

19) 20) 21)

22) 23) 24)

2.2.Исследуйте на сходимость несобственный интеграл первого рода:

1) 2)3)

4) 5)6)

7) 8)9)

10) 11)12)

2.3.Исследуйте на абсолютную сходимость несобственный интеграл первого рода:

1) 2)

3) 4)

III уровень

3.1.Используя формулу интегрирования по частям, вычислите несобственный интеграл или установите его расходимость:

1) 2)3)

4) 5)6)

3.2.Найдите главное значение несобственного интеграла и определите, сходится ли интеграл в обычном смысле:

1) 2)3)

4) 5)6)

3.3. Докажите сходимость несобственных интегралов Френеля и

У к а з а н и е. Выполните замену

3.4.Исследуйте интеграл на сходимость:

1) (у к а з а н и е:

2) (у к а з а н и е:

3) (у к а з а н и е:

4) (у к а з а н и е: сравните

5) (у к а з а н и е: сравните и

21.2. Несобственный интеграл второго рода

Пусть функция f (x) является непрерывной на промежутке [a; b) и неограниченной в окрестности точки т. е. Тогда точкаb называется особой точкой и говорят, что функция f (x) имеет особенность в точке b. Для любого функцияf (x) интегрируема на отрезке т. е. существует интеграл

(21.10)

Результат вычисления предела функции приназываетсянесобственным интегралом второго рода:

(21.11)

Несобственный интеграл второго рода (21.11) называется сходящимся, если предел (21.11) существует. Если функция является бесконечно большой, то несобственный интеграл считают равным бесконечности. Если предел (21.11) не существует, то интеграл не принимает никакого значения. В последних двух случаях несобственный интеграл второго рода называетсярасходящимся.

Если для функции f (x), определенной на полуинтервале [a, b), известна ее первообразная F(x), то для вычисления интеграла (21.11) используется формула Ньютона-Лейбница

(21.12)

Формула интегрирования по частям для несобственного

интеграла второго рода

Если функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на промежутке [a, b), а также существует то из сходимости одного из интеграловвытекает сходимость другого, и справедлива формула

Формула замены переменной в несобственном интеграле

второго рода

Если функция f (x) непрерывна на промежутке [a, b), функция определена на полуинтервале и имеет на нем непрерывную производную, причем то справедлива формулапри этом интегралы в ней оба сходятся или оба расходятся.

Аналогично определяется несобственный интеграл второго рода, если – особая точка функцииf (x):

(21.13)

Если особая точка функцииf (x) является внутренней точкой отрезка [a; b] (функция f (x) имеет в этой точке разрыв второго рода), то несобственный интеграл второго рода функции f (x) по отрезку [a; b] определяется равенством:

(21.14)

З а м е ч а н и е 1. Следует различать сходимость, определенную равенством (21.14), и сходимость в смысле главного значения (21.15), которая определяется следующим образом: пусть функция f (x) определена на отрезке [a; b] с особой точкой и интегрируема на любом отрезке, принадлежащем полуинтервалам [a; c) и (c; b]. Если для такого, чтосуществует

(21.15)

то он называется главным значением несобственного интеграла второго рода, а функция f (x) – интегрируемой по Коши.

Всюду далее будем рассматривать сходимость, определенную равенством (21.14).

Признаки сходимости несобственных интегралов

второго рода от неотрицательных функций

1. Признак сравнения

Пусть функции f (x) и g(x) определены на промежутке [a; b) и для них выполняется неравенство Тогда из сходимости интеграласледует сходимость интегралаа из расходимости интегралавытекает расходимость интеграла

2. Предельный признак сравнения

Пусть на промежутке [a; b) определены положительные функции f (x) и g(x), для которых Тогда оба интегралаивместе сходятся или оба вместе расходятся.

3. Пусть неотрицательная функция f (x) определена на промежутке [a; b) и для x, близких к b, удовлетворяет условию Тогда принесобственный интегралсходится. Если дляx, близких к b, выполняется неравенство ,тогда приинтеграл от этой функции на промежутке [a; b) расходится.

Сходимость интегралов второго рода

от знакопеременных функций

Если интеграл сходится, то несобственный интегралназываетсяабсолютно сходящимся.

1. Если несобственный интеграл второго рода сходится абсолютно, то он сходится.

2. Если интеграл абсолютно сходящийся, а функцияg(x) ограничена на промежутке [a; b), то интеграл также сходится абсолютно.

З а м е ч а н и е 2. Если несобственный интеграл второго рода от знакопеременной функции не сходится абсолютно, то это еще не означает, что он расходится. Для исследования на сходимость данного интеграла необходимо использовать другие признаки.

Пример 1. Исследовать интеграл на сходимость и в случае сходимости вычислить его.

Решение. Подынтегральная функция неограничена в окрестности точки Обозначимгде

Вычислим этот интеграл

Заключаем, что конечный предел существует прии не существует при

Мы получили следующий результат:

(21.16)

Аналогично можно показать, что для функций ,иинтегралыисходятся прии расходятся при

Пример 2. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

1) 2)3)4)

Решение. 1) Подынтегральная функция имеет особенность в точке – правом конце промежутка интегрирования. Для вычисления интеграла используем формулы (21.11) и (21.12):

2) Подынтегральная функция имеет особенность в точке – в левом конце промежутка. Согласно формуле (21.13) и формуле Ньютона-Лейбница, имеем:

Интеграл расходится.

3) Подынтегральная функция имеет две особые точки: – концы промежутка интегрирования.

Тогда

4) Подынтегральная функция имеет особенность во внутренней точке промежутка интегрирования. Для вычисления интеграла используем формулу (21.14) и формулу Ньютона-Лейбница. Получим:

Пример 3. Исследовать интеграл на сходимость:

1) 2)3)

Решение. 1) Подынтегральная функция имеет особенность в точке Сравним функциюс функциейПо правилу Лопиталя вычислим предел

Если тоЭто означает, что функциииэквивалентны приПоскольку расходится интеграл(пример 1, с. 155–156), то расходится также интеграл

2) Подынтегральная функция имеет особенность в точке Так какприто справедлива эквивалентностьприПоэтому из сходимости интеграла(пример 1, с. 141) следует сходимость интеграла

3) Подынтегральная функция является знакопеременной функцией на промежутке (0; 1]. Исследуем интеграл на абсолютную сходимость. Так как для любогото

Поскольку показатель то согласно формуле (21.16) интеграл сходится.

Отсюда следует, что заданный интеграл сходится абсолютно.

Пример 4. Найти главное значение несобственного интеграла

Решение. Интеграл от функции на отрезке [1; 5] расходится (пример 1, с. 155–156). Однако он сходится в смысле главного значения.

Задания