21. Несобственные интегралы

21.1. Несобственный интеграл первого рода

Несобственный интеграл первого рода – это обобщение интеграла на случай бесконечных промежутков числовой оси: на полупрямые и на прямую

Полагаем, что для любого числа существует определенный интеграл

Результат нахождения предела функции Ф(b) при назовемнесобственным интегралом первого рода:

(21.1)

Несобственный интеграл первого рода называется сходящимся, если предел (21.1) существует. Если предел (21.1) не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся. При этом за ним закрепляется значение если функцияФ(b) бесконечно большая на бесконечности, и не задается никакого значения, если предел функции Ф(b) при не определен.

Если для функции f (x), можно найти первообразнуюF(x) на каждом конечном отрезке то справедливаформула Ньютона-Лейбница

(21.2)

Аналогично определяется понятие несобственного интеграла первого рода на промежутках

Равенство

(21.3)

(при условии, что предел существует) определяет сходящийся несобственный интеграл на промежутке Соответственно,расходящийся интеграл – если предел в левой части равенства (21.3) не существует. Если F(x) – первообразная f(x) на каждом конечном отрезке [a; b], то для данного случая справедлива формула Ньютона-Лейбница

Несобственный интеграл на промежутке рассматривают как сумму несобственных интегралов на лучахи где c – произвольная фиксированная точка на числовой оси:

(21.4)

Первый интеграл в правой части равенства (21.4) определяют в смысле формулы (21.3), а второй – в смысле формулы (21.1).

Несобственный интеграл называетсясходящимся, если сходятся оба интеграла в правой части равенства (21.4), и расходящимся, если хотя бы один интеграл в правой части равенства (21.4) расходящийся.

Несобственный интеграл от функции f (x) на промежутке можно задать также равенством

где величины a и b стремятся к бесконечности независимо друг от друга. Для вычисления несобственного интеграла на промежутке используютформулу Ньютона-Лейбница

где F(x) – первообразная функция f (x).

Несобственный интеграл сходится в смысле главного значения, если существует конечный предел Этот предел называетсяглавным значением несобственного интеграла от функции f(x) в смысле Коши и обозначается:

V.p.(21.5)

З а м е ч а н и е 1. Для интеграла следует различать сходимость, определяемую равенством (21.4), от сходимости в смысле главного значения (см. далее решение примера 4, с. 144–145).

Свойства несобственных интегралов

1. Если сходится интеграл то сходится и интегралгдеи наоборот. При этом выполняется

2. Если интеграл сходится, то

3. Свойство линейности: если сходятся интегралы ито при произвольных постоянныхсходится также интеграли справедлива формула

4. Если для любого справедливо неравенствои интегралысходятся, то

5. Если функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на промежутке и существуетто из сходимости одного из интеграловвытекает сходимость другого интеграла и справедлива формула интегрирования по частям:

(21.6)

6. Пусть выполняются следующие условия:

1) функция f (x) непрерывна на промежутке

2) на промежутке определена строго монотонная функциямножеством значений которой является полупрямаяи

3) функция g(t) имеет непрерывную производную на промежутке

Тогда из сходимости одного из интегралов вытекает сходимость другого интеграла, и справедлива формула замены переменной

(21.7)

Признаки сходимости несобственных интегралов

первого рода от неотрицательных функций

1. Признак сравнения

Пусть функции f (x) и g(x) определены на промежутке интегрируемые на любом конечном промежутке [a; b], и для них выполняется неравенство

Тогда:

1) из сходимости интеграла вытекает сходимость интеграла

2) из расходимости интеграла вытекает расходимость интеграла

2. Предельный признак сравнения

Пусть на промежутке определены две положительные функцииf (x) и g(x), интегрируемые на любом конечном промежутке [a; b]. Если существует конечный предел то несобственные интегралыивместе сходятся или вместе расходятся.

3. Пусть неотрицательная функция f (x) определена на промежутке Если на этом промежутке для нее справедливо неравенствогдеc, p – определенные постоянные величины, причем то интегралсходится. Если справедливо неравенствогдето интегралрасходится.

4. Пусть неотрицательная функция f (x) определена на промежутке Если присуществует то интегралсходится. Если привыполняетсято интегралрасходится.

Сходимость несобственных интегралов первого рода

от знакопеременных функций

Если сходится, то несобственный интегралназываетсяабсолютно сходящимся.

1. Если несобственный интеграл первого рода сходится абсолютно, то он сходится.

2. Если интеграл абсолютно сходящийся, а функцияg(x) ограничена на промежутке то интегралтакже сходится абсолютно.

З а м е ч а н и е 1. Если несобственный интеграл первого рода от знакопеременной функции не сходится абсолютно, то это еще не означает, что он расходится. Для исследования на сходимость данного интеграла необходимо использовать другие признаки, в частности, признак Абеля-Дирихле: пусть функции f (x) и g(x) определены и непрерывны на промежутке причем функцияg(x) монотонно стремится к нулю при имеет непрерывную производнуюа функцияf(x) имеет ограниченную первообразную F(x) при Тогда интегралсходится.

З а м е ч а н и е 2. Всюду далее будем исследовать интегралы на сходимость в смысле определений (21.1), (21.3) и (21.4). В смысле главного значения необходимо исследовать только те примеры, в которых это требуется по условию.

Пример 1. Исследовать на сходимость интегралы:

1) 2)3)4)

В случае сходимости вычислить их.

Решение. 1) По определению (21.3) несобственного интеграла имеем:

значит, интеграл сходится.

2) По определению (21.1) несобственного интеграла имеем:

Интеграл расходится, так как первообразная является бесконечно большой функцией на бесконечности.

3) Интеграл расходится, так как функция

не стремится ни к какому пределу при

4) Вычисляем:

Интеграл расходится.

Пример 2. Исследовать, при каких значениях p сходится несобственный интеграл

Решение. По определению (21.1) имеем:

Следовательно, интеграл сходится, еслии расходится, если

Пример 3. Вычислить несобственный интеграл первого рода:

1) 2)3)

4) 5)

Решение. 1) Выделим в знаменателе подынтегрального выражения полный квадрат и представим заданный интеграл в виде суммы двух интегралов:

2) Используем метод поднесения под знак дифференциала. Для этого, выделив производную квадратного трехчлена в числителе, получим:

3) Вычисляем:

4) Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей:

Далее приводим дроби к общему знаменателю и приравниваем числители:

(21.8)

Неизвестные коэффициенты найдем с помощью метода частных значений:

Вычислим производную от обеих частей равенства (21.8):

Тогда для получаем:

Для имеем:

В итоге получаем:

5) Применим формулу интегрирования по частям:

Для вычисления предела используем правило Лопиталя (по переменной a):

Пример 4. Найти главное значение несобственного интеграла:

1) 2)

Решение. 1) Найдем главное значение данного интеграла по определению (21.5):

V.p.

Заметим, что вычисление интеграла по формуле (21.4) также дает (просьба убедиться самостоятельно), т. е. он сходится и в обычном смысле.

2) Найдем главное значение данного интеграла по определению (21.5):

Можно убедиться, что интеграл является расходящимся в обычном смысле.

Пример 5. Исследовать интеграл на сходимость, используя признак сравнения:

1) 2)

Решение. 1) При функцияпричемИнтегралсходится, так как

Поэтому, согласно признаку сравнения, интеграл сходится.

2) Функция припричемИнтегралрасходится, так как

Поэтому, согласно признаку сравнения, интеграл расходится.

Пример 6. Исследовать на сходимость несобственные интегралы по предельному признаку сравнения:

1) 2)3)

Решение. 1) Функция приРассмотрим функциюинтеграл от которой сходится (пример 2, с. 141 данного пособия).

Найдем Поэтому, согласно предельному признаку сравнения заключаем, чтотакже сходится.

2) Функция приРассмотрим функциюинтеграл от которой расходится (пример 2, с. 141).

Находим:

Поэтому, согласно предельному признаку сравнения, расходится.

3) Функция приПоэтому исследуем на сходимость интегралкоторый будет сходиться или расходиться одновременно с заданным интегралом. Используем эквивалентность бесконечно малых функций:Сделаем следующие преобразования:Поэтому имеемТак как известно, что несобственный интеграл от функциисходится на промежутке(пример 2, с. 141 данного пособия), то сходится также интеграла вместе с ним и заданный интеграл

Пример 7. Исследовать на сходимость интеграл где

Решение. Используем признак Абеля-Дирихле. Функция имеет ограниченную первообразнуюфункциямонотонно убывает и имеет непрерывную производную. Кроме того,Таким образом, все условия признака Абеля-Дирихле выполняются, а значит интегралсходится.

Пример 8. Исследовать интеграл на абсолютную сходимость:

1) 2)

Решение. 1) Так как для любогото

Следовательно, интеграл сходится абсолютно.

2) Интеграл сходится в силу признака Абеля-Дирихле (см. пример 7, с. 147). Рассмотрим интегралТак както для любогоимеем:

(21.9)

Осуществив предельный переход в неравенстве (21.9) при получаем:

Интеграл сходится в силу признака Абеля-Дирихле, а интегралрасходится (пример 2, с. 141 данного пособия). Приходим к выводу, что в результате предельного перехода в неравенстве (21.9) получимТаким образом, интегралсходится, однако он не сходится абсолютно.

Задания