Шпоры / Шпоры по сопромату по 20 тем / Исследование напряженного состояния при известных главных напряжениях
.doc3.2. Исследование напряженного состояния при известных главных напряжениях
В предыдущем параграфе было указано, что для исследования напряженного состояния должны быть известны напряжения на любых трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через данную точку. Математическая сторона такого исследования наиболее проста, когда исходные напряжения, т. е. напряжения, известные в начале исследования,— главные. Один из таких случаев рассмотрен в 2.5 — исследование напряженного состояния в точках растянутого (сжатого) бруса было проведено по известным главным напряжениям. Это обстоятельство ранее не подчеркивалось лишь потому, что понятие о главных напряжениях введено позднее, а при изучении материала гл. II в нем не было необходимости.
Для любой точки растянутого (сжатого) бруса одна из главных площадок совпадает с его поперечным сечением, а нулевые главные площадки (их бесчисленное множество) совпадают с продольными сечениями. Напряжение, возникающее в поперечном сечении бруса при его растяжении, — это главное напряжение о Д при сжатии — главное напряжение
Предположим, что в окрестности некоторой точки тела выделен элемент, грани которого совпадают с главными площадками (рис. 3.4,а); напряжения на этих гранях известны. Ограничимся определением нормальных и касательных напряжений для серии площадок, параллельных одному из главных напряжений.
Серией или семейством площадок называют совокупность бесчисленного множества площадок, параллельных одной и той же оси или, что то же самое, перпендикулярных одной и той же плоскости.
Рассечем элемент произвольной плоскостью, параллельной вектору о (рис. 3.4,а), и из уравнений равновесия, составленных для сил, действующих на отсеченную трехгранную призму (рис. 3.4, б); определим напряжения, возникающие на наклонной площадке. Обозначив 4А площадь указанной площадки и спроецировав все силы, действующие на выделенную призму, на оси ч и 1 (см. 5 2.5), получим:
откуда
откуда
Проанализируем полученные результаты. В первую очередь отметим, что
напряжения, возникающие на площадках рассматриваемой серии, не зависят от главного напряжения, параллельного этим площадкам (в рассматриваемом случае от о ).
Этот результат вполне понятен и очевиден — ведь вектор напряжения перпендикулярен плоскости, в которой лежат оси проекций, и, следовательно, проецируется на каждую из них в точку, т. е. не входит в уравнения равновесия.
Воспользовавшись известными формулами тригонометрии
взамен формулы (3.2) получим
Очевидно, наибольшее значение будет при
Следовательно, наибольшее и наименьшее нормальные напряжения для рассматриваемой серии площадок — это главные напряжения.
Пользуясь формулой (3.3), легко получить подтверждение закона парности касательных напряжений для исследуемого частного случая. Из этой же формулы следует, что наибольшее для данной серии площадок касательное напряжение возникает на площадке, нормаль к которой составляет угол 45' (или 135') с направлением а,, т. е. Формулы (3.2), (3.3), конечно, справедливы (при соответствующей замене индексов) для любой из трех серий площадок, каждая из которых параллельна одному из главных напряжений. Для каждой из этих серий площадок есть свое наибольшее касательное напряжение:
Вспоминая правило индексов, согласно которому > заключаем, что из трех, так сказать, частных максимумов т наибольшим, т. е. действительно максимальным для данной точки тела, оказывается
Сделаем еще один вывод из формулы (3.3): в частном случае при = ни на одной площадке исследуемой серии не возникает касательных напряжений, т. е. все площадки этой серии главные. Если все три главных напряжения равны между собой: , то для данной точки тела любая проходящая через нее площадка главная.