Шпоры / Шпоры по сопромату по 20 тем / Метод сечений

1.4. Метод сечений. Внутренние силы в поперечных сечениях бруса

Прочность твердого тела обусловлена силами сцепления между отдельными его частицами. При деформации тела, вызванной действием приложенных к нему внешних сил, внутренние силы изменяются. В дальнейшем под внутренними силами будем подразумевать не их абсолютные значения, а только те приращения, которые вызваны действующими на тело нагрузками. При возрастании внешних сил увеличиваются и внутренние силы, но лишь до определенного предела, при превышении которого наступает разрушение. Это предельное значение внутренних сил зависит от физико-механических свойств материала данного тела.

Для расчета на прочность необходимо иметь возможность определять внутренние силы по заданным внешним силам. Основу для решения этой задачи дает метод сечений. Познакомимся с этим методом.

Рассмотрим некоторое тело, находящееся в равновесии под действием заданной системы внешних сил (рис. 1.19). Напоминаем, что реакции связей также относятся к числу внешних сил, поэтому среди изображенных сил могут быть как активные, так и реактивные. Разрежем мысленно тело на две части некоторой произвольной плоскостью П — п и, отбросив одну из частей (например, 1), рассмотрим оставленную. Для обеспечения равновесия этой части надо приложить по проведенному сечению те силы взаимодействия между частями I и II тела, которые были внутренними силами для целого тела. Эти силы заменяют действие отброшенной части на оставленную (рис. 1.20).

Таким образом, применяя метод сечений, переводят силы, являющиеся внутренними для тела в целом, во внешние для одной из его частей, полученной в результате мысленно проведенного сечения.

Установить закон распределения внутренних сил по проведенному сечению методами статики не представляется возможным: составляя уравнения равновесия для сил, приложенных к оставленной части тела, можно лишь найти статический эквивалент внутренних сил (главный вектор и главный момент), возникающих в рассматриваемом сечении.

Принципиально совершенно безразлично, какую из частей тела (1 или 11) отбросить, так как из третьего закона Ньютона следует, что силы, действующие от части II на часть 1, равны по модулю и противоположны по направлению силам действия части 1 на II. Практически удобнее оставлять ту часть, к которой приложено меньше внешних сил, так как уравнения равновесия для нее будут иметь более простой вид.

Выше было обращено внимание на недопустимость замены одной системы внешних сил другой, статически эквивалентной. Это указание относилось к телу в целом. При рассмотрении равновесия оставленной части допустимы любые статически эквивалентные преобразования приложенных к ней внешних сил (замена их равнодействующей и т. д.).

В дальнейшем наиболее часто метод сечений будет применяться для определения статических эквивалентов внутренних сил, возникающих в поперечных сечениях прямого бруса, поэтому специально остановимся на этом вопросе.

Рассмотрим прямой брус, находящийся в равновесии под действием произвольной системы внешних (активных и реактивных) сил (рис. 1.21). Рассечем его на две части (! и II) некоторой произвольной плоскостью, перпендикулярной его продольной оси, и отбросим одну из частей (например, 1). Выше уже говорилось о том, что внутренние силы по сечению распределены. сплошь, но как именно они распределены, с помощью уравнений равновесия установить нельзя. Вместе с тем из теоретической механики известно, что любая система сил может быть приведена к ее главному вектору и главному моменту, которые статически эквивалентны заданной системе сил. Далее известно, что главный вектор системы может быть представлен в виде трех составляющих по осям выбранной системы координат. Аналогично, главный момент может быть также разложен на составляющие по осям координат, т. е. заменен тремя моментами, каждый из которых стремится повернуть тело вокруг одной из координатных осей. Эту систему выбираем следующим образом: начало координат 0 помещаем в центре тяжести рассматриваемого поперечного сечения (рис. 1.22), ось Oz направляем по внешней нормали к сечению, т. е. вдоль оси бруса, оси Ох и Оу располагаем в плоскости сечения, ось Оу — по оси симметрии поперечного сечения и ось Ox — ей перпендикулярной.

Составляющие главного вектора и главного момента внутренних сил, возникающих в поперечном сечении бруса, носят название внутренних силовых факторов в этом сечении.

На рис. 1.23 показаны шесть внутренних силовых факторов, возникающих в поперечном сечении бруса в общем случае его нагружения.

Составляющие главного момента по осям принятой системы координат, как известно, векторы, но для большей наглядности они показаны в виде дугообразных линий со стрелками на концах.

Указанные шесть внутренних силовых факторов имеют следующие наименования: N, — продольная (или нормальная сила); Q Я„— поперечные силы; М, — крутящий момент; М„, М„— изгибающие моменты.

Каждый из них связан с определенным видом деформации бруса. Так, например, если не равна нулю только продольная сила NД брус работает на растяжение или на сжатие. Если не равна нулю поперечная сила Д„(или Д,„или обе одновременно), брус работает на срез (сдвиг).

При наличии в поперечных сечениях бруса только крутящего момента М, имеет место деформация кручения. В случае если не равен нулю изгибающий момент М„или М„, брус работает на чистый изгиб либо в плоскости уOz (при М О), либо в плоскости xОz (при M 0).

Таким образом, разложение главного вектора и главного момента внутренних сил на составляющие имеет не формальный, а ясно выраженный физический смысл.

Для определения каждого из внутренних силовых факторов надо составить соответствующее уравнение равновесия для всех сил, действующих на оставленную часть бруса (рис. 1.23). Как известно, для пространственной системы произвольно расположенных сил таких уравнений может быть составлено шесть и в каждое из них войдет лишь один внутренний силовой фактор, который и будет определен из этого уравнения. Например, для определения продольной силы И, проецируем силы, приложенные к оставленной части бруса, на ось z:

Аналогично составляются и остальные уравнения равновесия.

На основе уравнения (1.1) и других подобных уравнений можно сформулировать правила для определения внутренних силовых факторов. Например,

продольная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на продольную ось Oz бруса всех внешних сил, приложенных к его оставленной части.

Продольная сила, возникающая в проведенном сечении, принадлежащем оставленной части, равна по модулю и противоположна по направлению силе, возникающей в том же сечении, но принадлежащем отброшенной части. То же относится, конечно, и ко всем остальным внутренним силовым факторам (рис. 1.24).

Поэтому можно сформулировать правило для отыскания N, и несколько иначе:

продольная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на продольную ось Oz бруса всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Аналогично формулируются правила для отыскания остальных внутренних силовых факторов.