Метода ЦОС

Поменяем в последней сумме индекс суммирования на Напомним, что с изменением индекса суммирования изменяются пределы суммирования.

,

= Таким образом, сумматор является стационарной

системой.

3.4. Связь между входным и выходным сигналами в линейной системе

Наличие свойств линейности и стационарности позволяет представлять анализируемую систему в удобном виде. Предположим, на вход системы подан единичный импульс (отсчет)

Обычно выход линейной системы является запаздывающей и усиленной или подавленной версией входа. Отклик системы на этот сигнал обозначим

рисунок 3.3.

Линейная

система

Рисунок 3.3 – К определению импульсной характеристики

Выход системы, инициированный единичным импульсом, не будет тем же импульсом, а будет меняться со временем, в некоторый момент, достигая максимального значения, например, как показано на рисунке 3.4

1

–2 –1 0 1 2 3 4 5

Рисунок 3.4 ‒ Входной единичный импульс и импульсная характеристика системы

n

Рисунок 3.5

В этом случае на каждое импульсное воздействие формируется отклик, соответствующий импульсной характеристике системы. Выход системы получается из отдельных импульсных откликов, рисунок 3.6.

x(0)h(1)

Последующие выходы запишутся как

Выводы

1.Если система линейна, выход можно записать как линейную сумму влияния предыдущих входов.

2.Выход получается умножением входной последовательности на соответствующие отсчеты, обращенной во времени функции импульсной характеристики.

3.Учитывая свойство линейности и возможность представления любой последовательности в форме линейной комбинации сдвинутых единичных импульсов (2.12), можно утверждать, что линейная стационарная система определяется своей реакцией на единичный импульс или импульсной характеристикой при нулевых начальных условиях.

Замечание. Признаком нулевых начальных условий является отсутствие отклика при отсутствии входной последовательности

Нулевые начальные условия отвечают принципу причинности, в соответствии с которым отклик не может возникнуть раньше воздействия.

Для описания во временной области линейных стационарных дискретных систем широко применяются следующие линейные уравнения (формулы):

‒свертка, где используется импульсная характеристика;

‒разностные уравнения, где используются параметры линейных дискретных систем (ЛДС).

3.5. Уравнение свертки

Из свойств стационарности (инвариантности к сдвигу) следует, что откликом на последовательность будет , рисунок 3.7.

Рисунок 3.7

Рассмотрим отклик ЛДС на входную последовательность, представленную в виде (2.12)

Из свойств линейности и стационарности ЛДС следует, что откликом на эту последовательность должна быть последовательность

Заменяя индекс суммирования в (3.7), получаем другое выражение свертки.

Таким образом, линейная инвариантная к сдвигу дискретная система с

воздействия и импульсной характеристики. Покажем тождественность результатов вычисления по формуле свертки в двух вариантах ее записи

По формуле (3.11) получаем результат

Выбор варианта свертки определяется удобством применения. Операцию вычисления дискретной свертки по формуле (3.7) и (3.9) называют линейной (апериодической) сверткой. Из формул свертки следует, что , т.е. -й член выходной последовательности получается в результате умножения входной

суммирования. Следовательно, при свертке двух последовательностей для

3.5.1. Графическое представление свертки

Cвертка – это одна из наиболее используемых операций в ЦОС. Например, это основная операция цифровой фильтрации. Для более полного понимания формулы свертки рассмотрим процесс образования последовательности значностью . На рисунке 3.8.а показана последовательность

h(-k)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 k

Рисунок 3.8.б

Далее определим последовательность

h(n-k)

3.9.а – 3.9.г. показаны этапы вычислений.

x(k)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 k

Рисунок 3.9.а

h(k)

Условно процесс вычисления свертки отображается на рисунке 3.9.в. и Временное соотношение сворачиваемых отсчетов показано ниже

1 1 1

2 3 4 5

5.

h(-k)

x(k)

k

Условно процесс вычисления свертки отображается на рисунке 3.9.г. и Временное соотношение сворачиваемых отсчетов показано ниже

1 1 1

2 3 4 5

4+5 = 9.

h(-k)

x(k)

k

Рисунок 3.9.г Действуя аналогичным образом, вычисляем остальные коэффициенты свертки.

1 1 1

2 3 4 5 3+4+5=12.

1 1 1

2 3 4 5 2+3+4=9.

1 1 1

2 3 4 5

y(n)

Рисунок 3.10 – Реакция линейной дискретной системы

Из рассмотренного механизма вычисления свертки следуют следующие выводы:

–если длительность входной последовательности и (или) импульсной характеристики бесконечна, длительность отклика также бесконечна;

–если длительность входной последовательности и импульсной

последовательность. Построить график свертки.

3.3. Вычислить отклик ЛДС по формуле свертки. Изобразить график

Определение 3.1. Линейная дискретная система называется устойчивой, если и только если ее реакция на любой ограниченный по амплитуде

Таким образом, для устойчивой системы отклик

Определение 3.2. Линейная стационарная система является устойчивой тогда и только тогда, когда ее импульсная характеристика, абсолютно суммируемая последовательность, т.е. если

Рассмотрим примеры, отражающие свойство устойчивости стационарной системы.

В этом примере импульсная характеристика имеет конечное число отсчетов (один ненулевой отсчет при Такие системы называются системами с конечной импульсной характеристикой – КИХ фильтрами.

где – единичный скачок На рисунке 3.11 изображен единичный скачок Импульсная

характеристика сумматора не ограничена по времени. Характеристика формируется только тактовой последовательностью импульсов. Системы с неограниченной по длительности импульсной характеристикой называются системами с бесконечной импульсной характеристикой – БИХ фильтрами.