Метода ЦОС

.

Замечание. Если выполняется программная реализация КИХ фильтра, входные отсчеты должны быть предварительно записаны в ЗУ. Далее необходимо выбирать блоки из 53 отсчетов из массива входных данных , выполнять вычисления и запоминать результирующую выходную последовательность в ЗУ.

6.1. Конечные дискретные комплексные экспоненциальные функции

Как отмечалось ранее, для описания дискретных линейных стационарных систем в континуальном спектральном анализе используются дискретные комплексные экспоненциальные последовательности вида

(6.1)

Данная система функций составляет счетное бесконечное множество и определена на бесконечном интервале частоты

Экспоненциальная последовательность может быть задана на конечном

– основная линейная частота последовательности. Основная круговая частота

определяет период дискретизации по частоте. Абсолютное значение непрерывной частоты с учетом дискретизации переменной частоты равна

комплексных дискретных экспоненциальные функции (ДЭФ), определяемых выражением

Введем обозначение . Тогда

направлении часовой стрелки. В выражении (6.2) переменные времени и частоты изменяются дискретно, в отличие от (6.1), где время изменяется дискретно, а частота непрерывно. Заметим, что огибающая дискретных

Рисунок 6.1– Графическая иллюстрация функции

(формулы Эйлера)

Если переменная последовательно принимает значения то через шагов, комплексный вектор проходит радиан или совершает

один оборот на комплексной плоскости. Вращаясь, вектор ДЭФ занимает на плоскости только фиксированных положений. Выражение представляет собой единичный вектор на комплексной плоскости, угол которого линейно нарастает со временем. Модуль комплексного числа

оборота на комплексной плоскости за тоже время , что и в примере 6.1, т.е. за

Величина полной фазы за дискретное время определяется как

где – скорость изменения фазы ДЭФ или частота этой функции. Таким

образом, частота ДЭФ – это число оборотов, совершаемых вектором ДЭФ на интервале ее определения

Пример 6.3. Вычисление значений ДЭФ.

1.

Решение.

2.

Решение.

3.

Решение.

4.

Решение.

На рисунке 6.2 показаны положения вектора ДЭФ на комплексной плоскости примера 6.3.

нумеруются переменной столбцы переменной . В пересечении k-й строки и -го столбца записывается величина :

Поскольку ДЭФ являются периодическими функциями, матрицу (6.3) можно

3. Симметричность.

ДЭФ является функцией двух переменных и Выводы относительно одной из переменных справедливы и для другой. Тогда

5. Мультипликативность:

–по строкам

–по столбцам

Номер полученной строки (столбца) равен сумме номеров сомножителей.

6.2. Определение дискретного преобразования Фурье

Прямое дискретное преобразование Фурье (ДПФ) последовательности определяется как дискретная последовательность в частотной

области (экспоненциальная форма)

(6.9)

где – индекс ДПФ в частотной области, – индекс временной входной последовательности отсчетов сигнала.

Дискретное преобразование Фурье устанавливает связь между временным и частотным представлением сигнала при разложении его по конечным дискретным экспоненциальным функциям.

Обратное ДПФ (ОДПФ) имеет следующий вид:

(6.10)

Взаимная обратимость выражений (6.9) и (6.10) доказывается подстановкой

вт.е.

(6.11)

(6.12)

Всилу ортогональности ДЭФ внутренняя сумма отлична от нуля только при

Вэтом случае правая часть выражения (4.24) равна

Тригонометрическая форма ДПФ:

–прямое ДПФ

–обратное ДПФ

Замечание. Принципиальное различие между дискретизированным по времени преобразованием Фурье и ДПФ обусловлено характером системы

– периодической структурой отсчетов восстанавливаемой последовательности

6.3. Свойства дискретного преобразования Фурье

1. Периодичность. Свойство периодичности ДЭФ приводит к выражениям

и

Действительно, Обычно ограничиваются рассмотрением одного периода длиной во

временной и в частотной области. Это позволяет определить матричную форму ДПФ:

– прямое ДПФ

3. Инвариантность ДПФ относительно сдвига по времени и частоте:

1. Инвариантность относительно циклического сдвига по времени. Если последовательность имеет ДПФ , то ДПФ последовательности

равно

4. Теорема о свертке. Если исходные последовательности отсчетов сигналов и имеют конечные периоды , их циклическая свертка определяется формулой

, = 0, 1,…, –1.

Вычислим ДПФ последовательности

(6.13)

. (6.14)

Используя свойство инвариантности относительно циклического сдвига по времени, можно записать составляющую выражения (6.14) как

Тогда

(6.15)

Таким образом, спектр свертки равен произведению спектров сворачиваемых последовательностей. Коэффициенты свертки вычисляются на основе ОДПФ по формуле

Теорема (6.15) позволяет вычислить коэффициенты свертки при помощи ДПФ по формуле

При больших величинах на практике применяют эффективные алгоритмы вычисления свертки с использованием быстрых преобразований Фурье.

Используя свойство инвариантности относительно циклического сдвига по времени, можно записать составляющую выражения (6.17) как

Тогда

(6.18)

Таким образом, спектр корреляционной функции равен произведению спектров сворачиваемых последовательностей, причем один из спектров берется в комплексном сопряжении.

Коэффициенты корреляционной функции вычисляются на основе ОДПФ по формуле

Теорема (6.18) позволяет вычислить коэффициенты корреляционной функции при помощи ДПФ по формуле

Д Д Д .

На практике применяют эффективные алгоритмы вычисления корреляционной функции с использованием быстрых преобразований Фурье.

Коэффициенты корреляционной функции, вычисляются на основе выражения ОДПФ, т.е.