Метода ЦОС

Основным понятием в гармоническом анализе является гармоническое колебание.

Определение 4.1. Гармоника синусоидальных функций периода – это функции синуса или косинуса со значениями частоты, представляющими

понимают гармоническое колебание с частотой, в п раз превышающей

секунд.

Следующим важным понятием является спектр сигнала. Под спектром сигнала понимают совокупность его гармонических составляющих. Введение понятия спектра сигнала обусловило использование в технических приложениях название спектрального анализа для гармонического анализа сигналов.

Как известно, любой сигнал , описываемый периодической функцией времени, удовлетворяющей условиям Дирихле (модели реальных сигналов им удовлетворяют), можно представить в виде суммы гармонических колебаний, называемой рядом Фурье:

4.1.3.Комплексная форма ряда Фурье

Сцелью упрощения расчетов часто используют вместо тригонометрической формы записи ряда Фурье его комплексную форму. Расчет спектров сигналов в комплексной области значительно проще,

периодического сигнала. На рисунке 4.2 показана геометрическая интерпретация комплексного числа .

начальные фазы – фазовый спектр.

Таким образом, спектр периодического сигнала представляется в виде постоянной составляющей и бесконечного числа гармонических колебаний (синусоидальных или косинусоидальных) с соответствующими амплитудами и начальными фазами. На рисунках 4.3 и 4.4 приведены амплитудный и фазовый спектры некоторого периодического сигнала.

| n |

ω0 2ω0 3ω0 4ω0 5ω0 . . . nω0

Рисунок 4.3 – Амплитудный спектр сигнала

φn

ω0 2ω0 3ω0 4ω0 5ω0 . . . nω0

Рисунок 4.4 – Фазовый спектр сигнала

Каждая гармоническая составляющая изображена вертикальными отрезками, длины которых (в некотором масштабе) равны ее амплитуде и фазе. Как видно, спектр периодического сигнала является дискретным или, как говорят, линейчатым. Частоты всех гармоник кратны основной частоте. Это означает, что если периодический сигнал следует с частотой, например, 1 кГц, то в его спектре могут быть только частоты 0 кГц, 1 кГц, 2 кГц и т.д. В спектре такого периодического сигнала не могут присутствовать, например, частоты 1,5 кГц или 1,2 кГц.

4.2. Преобразование Фурье

Когда функция не является периодической (но площадь под графиком ее модуля конечна), она может быть выражена в виде интеграла от синусов и/или косинусов, умноженных на некоторую весовую функцию, а именно

где непрерывная круговая частота. Поскольку , преобразование основано на множестве синусоидальных функций. Имеется

который придается выражению Определение 4.2. Прямое преобразование Фурье (Фурье-образ)

по этой переменной производится интегрирование, это влияние одинаково для всех значений переменной

Определение 4.3. Функция может быть полностью восстановлена при помощи обратного преобразования Фурье

(4.6).

Преобразование Фурье описывает функцию с помощью совокупности составляющих ее частот. Преобразование Фурье можно представить призмой, которая разлагает функцию на различные составляющие в зависимости от ее частотного содержания.

Таким образом, преобразование Фурье позволяет работать в Фурьеобласти, а затем вернуться во временную область определения функции без потери информации. Так как любая функция может быть представлена совокупностью синусоид и/или косинусоид, линейное преобразование произвольного сигнала можно анализировать в три этапа, а именно:

–представлять сигнал в виде комбинации синусоид;

–рассчитывать отклик на каждую из этих отдельных синусоид;

–комбинировать отдельные результаты.

4.3. Дискретная комплексная экспоненциальная последовательность

В цифровых системах сигналы определяются лишь для дискретных

значений времени В этом случае сигнал , записанный как комплексная экспоненциальная функция, преобразуем следующим образом:

(4.7)

Для нормированной частоты

4.4. Комплексная частотная характеристика линейной дискретной системы

В предыдущих лекциях было показано, что для линейных стационарных дискретных систем запись входной последовательности в виде взвешенной суммы задержанных единичных импульсов приводит к представлению выходного сигнала (реакции) в виде комбинации сдвинутых во времени импульсных характеристик

В отображении сигналов, широко применяется также дискретная комплексная экспоненциальная функция

.

Отличительной особенностью этого класса сигналов является то, что откликом линейной стационарной системы на синусоидальную последовательность остается синусоидальная последовательность с той же частотой, но с другой амплитудой и начальной фазой, которые полностью определяются параметрами линейной системы.

Вычислим отклик линейной стационарной системы на входную последовательность . Далее для упрощения записи формул будем использовать обозначение нормированной частоты как

входной последовательностью с точностью до комплексного множителя

называется комплексной частотной характеристикой (КЧХ) системы, импульсная характеристика которой

Из формулы (4.10) следует, что описывает изменение комплексной амплитуды комплексной экспоненты (входного сигнала) в зависимости от значений нормированной частоты

Свойство непрерывности объясняется тем, что частота изменяется

Таким образом, периодичность КЧХ связана с процессом дискретизации и тем, что последовательности

и

неотличимы. Из этого же следует, что линейная стационарная система будет

нижними частотами называют частоты, близкие к нулю, а верхними – частоты, лежащие около .

входному сигналу. Комплексный коэффициент пропорциональности зависит

.

По формуле (4.9) получаем

Например, пусть:

Комплексная частотная характеристика системы

Амплитудная частотная характеристика системы (модуль КЧХ) определяется как

Фаза КЧХ вычисляется по формуле

Частотная характеристика идеальной системы задержки в диапазоне имеет вид, показанный на рисунке 4.6.

2

f

Рисунок 4.6 – Частотная характеристика системы с