5. Теорема о корреляции. По определению (2.13) корреляционная функция двух конечных последовательностей равна

, для 𝑛 = 0, 1,…,𝑁–1.

Вычислим ДПФ последовательности

(4.30)

Так как не зависит от , изменяем порядок суммирования в (4.30).

. (4.31)

Используя свойство инвариантности относительно циклического сдвига по времени , можно записать составляющую выражения (4.31) как

Тогда

(4.32)

Таким образом, спектр корреляционной функции равен произведению спектров сворачиваемых последовательностей, причем один из спектров берется в комплексном сопряжении.

Коэффициенты корреляционной функции вычисляются на основе ОДПФ по формуле

Теорема (4.32) позволяет вычислить коэффициенты корреляционной функции при помощи ДПФ по формуле

.

На практике применяют эффективные алгоритмы вычисления корреляционной функции с использованием быстрых преобразований Фурье.

6. Теорема Парсеваля. Пусть последовательности и будут идентичными. В этом случае теорема о корреляции записывается как

.

Коэффициенты корреляционной функции, вычисляются на основе выражения ОДПФ, т.е.

(4.33)

В частном случае, для равенство (4.33) сводится к соотношению

,

(4.34)

Из (4.34) следует, что энергия сигнала, вычисленная во временной области (по переменной ) равна энергии сигнала, вычисленной в частотной области. Каждая величина представляет собой мощность дискретной гармоники, имеющей частоту с номером .