ЦОС 1лб

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ»

ИНСТИТУТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

ФАКУЛЬТЕТ КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 ПО ТЕМЕ

«ПРИМЕНЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ»

ЧАСТЬ 1

ВЫПОЛНИЛ:

СТУДЕНТ ГРУППЫ 380562

Петров Н.А.

ПРОВЕРИЛ:

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ

МИТЮХИН А.И.

МИНСК 2015

1. Цель работы

Изучение свойств дискретных ортогональных преобразований и их применение в цифровой обработке сигналов и изображений.

2. Краткие теоретические сведения

Модели сигналов в виде функции времени предназначены, в первую очередь, для анализа формы сигналов. При решении задач прохождения сигналов сложной формы через какие-либо устройства такая модель сигнала часто не совсем удобна и не позволяет понять суть происходящих в устройствах физических процессов.

Поэтому сигналы представляют набором элементарных (базисных) функций, в качестве которых наиболее часто используют ортогональные гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) функции. Выбор именно таких функций обусловлен тем, что они являются, с математической точки зрения, собственными функциями инвариантных во времени линейных систем (систем, параметры которых не зависят от времени), т.е. не изменяют своей формы после прохождения через эти системы. В результате сигнал может быть представлен множеством амплитуд, фаз и частот гармонических функций, совокупность которых называется спектром сигнала.

Таким образом, существуют две формы представления произвольного детерминированного сигнала: временное и частотное (спектральное). Первая форма представления основана на математической модели сигнала в виде функции времени:

вторая – на математической модели сигнала в виде функции частоты , причем эта модель существует только в области комплексных функций:

.

Обе формы представления сигнала связаны между собой парой преобразований Фурье:

(2.1)

(2.2)

При использовании линейной частоты преобразования Фурье имеют следующий вид:

(2.3)

(2.4)

Из формул (2.2), (2.4) следует, что любой сложный периодический сигнал может быть представлен в виде суммы гармонических колебаний с частотами, кратными основной частоте.

Теория цифровой обработки сигналов связана с описанием и обработкой временных и частотных последовательностей. Пусть задана произвольная временная дискретная последовательность . Такая числовая последовательность может быть представлена как сумма взвешенных и задержанных цифровых единичных импульсов. Цифровой единичный импульс (отсчёт), определяется следующим образом:

(2.5)

где 𝑛 = 0,

3. Предварительное задание

3.1 Вычислить значения ДЭФ: , , при

3.2 Функции системы ДЭФ записать в виде матрицы размерностью

Систему ДЭФ записывают в виде матрицы строки которой нумеруются переменной столбцы переменной . В пересечении k-й строки и -го столбца записывается величина , для матрица имеет следующий вид:

V =		W 0	W 0	W 0	W 0	W 0	W 0	W 0	W 0
		W 0	W 1	W 2	W 3	W 4	W 5	W 6	W 7
		W 0	W 2	W 4	W 6	W 8	W 10	W 12	W 14
		W 0	W 3	W 6	W 9	W 12	W 15	W 18	W 21
		W 0	W 4	W 8	W 12	W 16	W 20	W 24	W 28
		W 0	W 5	W 10	W 15	W 20	W 25	W 30	W 35
		W 0	W 6	W 12	W 18	W 24	W 30	W 36	W 42
		W 0	W 7	W 14	W 21	W 28	W 35	W 42	W 49

Произведем расчёт от W⁰ до W⁷, оставшиеся значения найдем из свойства периодичности:

Заполним исходную матрицу V:

V =		1	1	1	1	1	1	1	1
		1				-1
		1		-1		1		-1
		1				-1
		1	-1	1	-1	1	-1	1	-1
		1				-1
		1		-1		1		-1
		1				-1

3.3 Вычислить спектр дискретизированного сигнала, показанного на рисунке 3.1, с помощью ДПФ. Построить графики амплитудного и фазового спектров.

,

Рисунок 3.1 – Дискретизированный сигнал

Произведем расчёт дискретной последовательности в частотной области:

1,41

1

,41

1,41

1,41

1,41

1,41

1,41

1

,Совокупность значений называется спектром периодической функции.

	n = 0	n = 1	n = 2	n = 3	n = 4	n = 5	n = 6	n = 7
	35	1,66	4,12	3,43	3	3,43	4,12	2,49
, °	0	58,36	14,04	38,14	0	-38,14	-14,04	-58,48

По полученным значениям построим графики амплитудного и фазового спектров:

Рисунок 3.2 – Амплитудный спектр сигнала	Рисунок 3.3 – Фазовый спектр сигнала

3.4. По полученным значениям ДПФ с помощью ОДПФ восстановить исходные значения отсчетов сигнала.

Обратное ДПФ (ОДПФ) имеет следующий вид:

1,

1,

41

1,4

1,41

1,41

1

1,4

4. Лабораторное задание

4.1 Провести вычисления, подтверждающие свойства 1, 2, 5 дискретных экспоненциальных функций.

1.Ортогональность

Функции ортогональны, т.е.

Так как , то

Следствием свойства ортогональности является:

– скалярное произведение различных двух строк матрицы , одна из которых должна быть комплексно сопряженной, равно нулю;

– скалярное произведение одинаковых двух строк матрицы , одна из которых должна быть комплексно сопряженной, равно .

Рассмотрим в качестве примера матрицу из п.4.1.5:

1.1

1.2

2. Периодичность

то .

Построим следующую матрицу и проверим свойство периодичности:

Поскольку N = 4, соответственно образуют один период – один оборот на комплексной плоскости:

Соответственно проведем следующие вычисления, подтверждающие свойство периодичности:

5. Мультипликативность

Свойство мультипликативности.

– по строкам

– по столбцам

Построим следующую матрицу и проверим свойство мультипликативности:

Следовательно, мы убедились в свойстве мультипликативности для строк и столбцов.

4.2 Вычислить спектр дискретизированного сигнала (п. 3.3), сдвинутого по времени на интервалов дискретизации. Построить графики сигнала, амплитудного и фазового спектров.

,

,

Рисунок 4.1 – График дискретизированного сигнала, сдвинутого на 3Т

	n = 0	n = 1	n = 2	n = 3	n = 4	n = 5	n = 6	n = 7
	35	2.34	4,12	3.43	3	3.43	4,12	2.48
, °	0	13.76	-75.96	83.14	0	-83.14	75.96	-13.76

По полученным значениям построим графики амплитудного и фазового спектров:

Рисунок 4.2 – Амплитудный спектр сигнала	Рисунок 4.3 – Фазовый спектр сигнала

Следовательно, амплитудный спект сигналане зависит от сдвига на t=3T интервалов дискретизации.

4.3 По полученным значениям ДПФ с помощью ОДПФ восстановить значения отсчетов сигнала (п. 4.2). Построить график восстановленного дискретизированного сигнала.

Построим график восстановленного дискретизированного сигнала:

Рисунок 4.1 – Восстановленный дискретизированный сигнал

5. Выводы

В ходе выполнения лабораторной работы мы изучили основные свойства дискретных экспоненциальных функций, а также познакомились с дискретным преобразованием Фурье, обратным дискретным преобразованием Фурье. С помощью ДПФ мы научились переходить от дискретизированного сигнала по времени к дискретизированному сигналу по частоте.