Перевод чисел из одной системы счисления в другую, когда одно основание является целой степенью другого.

Как мы уже знаем, в ЭВМ наибольшее применение находит система с основаниями 2, 4, 8, 16, т.е. системыкоторые кратны степени 2. Поэтому целесообразно рассмотреть лишь правила перевода чисел в этих системах. Аналогичные правила будут справедливы и для других систем. Допустим, что имеется некоторое целое число N₈в 8-ой системе. Оно может быть представлено в виде:

N₈ = a₁*8^n-1 + a₂*8^n-2 + a₃*8^n-3 + ...

+ a_n-2*8² + a_n-1*8¹ + a_n*8⁰.

Пусть каким-либо образом мы получили запись этого числа в виде двоичного, т.е.:

N₂ = b₁*2^k-1 + b₂*2^k-2 + ...

+ b_k-2*2² + b_k-1*2¹ + b_k*2⁰.

Разделим эти выражения на 2³ = 8:

a₁*8^n-2 + a₂*8^n-3 + a₃*8^n-4 + ... + a_n-1*8⁰ + a_n*8^-1

-------

дробная часть

b₁*2^k-4 + b₂*2^k-5 + ... + b_k-3*2⁰ + b_k-2*2^-1 + b_k-1*2^-2 + b_k*2^-3

-------------------------

дробная часть

Так как числа были равны, то получается одинаковые частные и одинаковые остатки:

a_n*8^-1 = b_k-2*2^-1 + b_k-1*2^-2 + b_k*2^-3. (6.2)

Если снова разделим целые части на 2³ = 8, то опять получим равные частные и равные остатки.

При этом видим, что каждой восьмеричной цифре соответствует её двоичный эквивалент. Поэтому перевод выполняется простой заменой цифры восьмеричной системы её двоичным эквивалентом и обратно.

Пример:

62,753₈ = 110010,111101011₂

Аналогично для 4-ой системы:

321,2233₄ = 111001,10101111₂

Аналогично для 16-ой системы:

1D876,72 = 00011101100001110110,01110010₂

Из этих примеров видим, что чем выше основание системы счисления, тем компактнее запись.

bk-2	bk-1	bk	an
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	2
0	1	1	3
1	0	0	4
1	0	1	5
1	1	0	6
1	1	1	7

Если умножить последние соотношения (6.2) на 8, то:

a_n*8^-1*8 = (b_k-2*2^-1 + b_k-1*2^-2 + b_k*2^-3)*2³

a_n = b_k-2*2² + b_k-1*2¹ + b_k*2⁰

Фиксированная запятая

Оговоримся, что разрядная сетка машины имеет постоянное число разрядов - n.

При представлении чисел с фиксированной запятой считают, что запятая всегда находится перед старшим разрядом, а все числа, которые участвуют в вычислениях, считаются по абсолютной величине меньше единицы:

|X| < 1

Введём две характеристики чисел: диапазон изменения и точность представления.

Диапазон изменения характеризуется теми пределами, в которых могут находиться числа, с которыми оперирует машина.

Отличное от нуля самое малое число:

Таким образом, диапазон чисел, с которыми работает ЭВМ, есть:

|X|_min <= |X| <= |X|_max

2^-n <= |X| <= 1 - 2^-n

Иными словами, числа, которые выходят за диапазон изменения, в ЭВМ не могут быть представлены точно. Если

|X| < |X|_min = 2^-n,

то такое число воспринимается как нуль.

Если:

|X| > |X|_max = 1- 2^-n,

то такое число воспринимается как бесконечно большое. Этим двум случаям соответствуют понятия машинного нуля и машинной бесконечности.

При оптимальном округлении абсолютная ошибка:

Минимальная относительная ошибка:

так как при большом " n "

Максимальная относительная ошибка:

Ошибка представления числа зависит от величины самого числа и способа округления:

Заметим, что для малых чисел ошибка может достигать большой величины.