- •Идз №7:
- •1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия
- •2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •2.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли
- •I. Дифференциальное уравнение вида
- •II. Дифференциальное уравнение вида
- •1) И 2).
- •1) И 2) .
- •1) И 2).
- •1) И 2).
- •2.4. Уравнения в полных дифференциалах
- •3. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •3.1. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
- •4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •5. Литература
- •Вариант № 1
II. Дифференциальное уравнение вида
где m – любое действительное число, отличное от нуля и единицы, т.е. и, называетсяуравнением Бернулли.
Уравнение Бернулли можно преобразовать в линейное уравнение, производя замену неизвестной функции при помощи подстановки . На практике уравнение Бернулли решается аналогично тому, как решаются линейные дифференциальные уравнения первого порядка, т.е. применяется либо метод Бернулли, либо метод вариации произвольных постоянных.
Пример. Найти общее решением дифференциального уравнения
.
Решение. Имеем уравнение Бернулли. Решим его методом подстановки (методом Бернулли): ,
,
.
Отсюда получаем два уравнения с разделяющимися переменными:
1) И 2).
Решая первое уравнение, находим v как простейший частный интеграл этого уравнения:
, ,,,,
, ,.
Таким образом, .
Подставляя v во второе уравнение и решая его, находим u как общий интеграл этого уравнения:
, ,,,,
, ,,,
.
Таким образом, .
Следовательно, искомый общий интеграл данного уравнения
.
Ответ: общее решение уравнения Бернулли .
В задании 3 необходимо найти решение задачи Коши линейного дифференциального уравнения первого порядка.
Задание 3. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения. Сделать проверку.
a) .
b) .
c) .
Решение. Для нахождения частного решения, или решения задачи Коши предварительно найдем общее решение, а затем, подставляя начальные условия, вычислим соответствующее этим начальным значениям C. Подставляя его в общее решение, получим решение задачи Коши.
Данные уравнения относятся к линейным уравнениям первого порядка. Их можно решать или методом подстановки (метод Бернулли), или методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). Для задания 3 (a) покажем оба способа решения, остальные примеры решим только методом Лагранжа.
Задание 3a. .
Первый способ – метод подстановки.
Полагаем , тогдаи данное уравнение преобразуется к виду:
, .
Так как одну из вспомогательных функций uилиv можно взять произвольно, то выберем в качествеvкакой-либо частный интеграл уравнения. Тогда для отысканияuполучим уравнение. Таким образом, приходим к двум уравнениям первого порядка с разделяющимися переменными:
1) И 2) .
Решая первое из этих уравнений, найдем v, как простейший, отличный от нуля частный интеграл этого уравнения:
, , ,
, ,.
Подставляя v во второе уравнение и решая его, находим u как общий интеграл этого уравнения:
, ,,,
, .
Интеграл, стоящий слева, вычислим отдельно.
Возвращаясь к уравнению, получим
Зная u и v, находим искомую функцию y:
Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид:
Подставим заданные начальные условия , т.е.,, в общее решение и найдемC:
, ,.
Таким образом, и частное решение, или решение задачи Коши примет вид:
Сделаем проверку.
.
Найдем производную и подставим в исходное уравнение .
,
,
.
Получили верное равенство, т.е. решение дифференциального уравнения найдено верно.
Второй способ – метод вариации произвольных постоянных.
1. Составим однородное линейное уравнение, соответствующее исходному уравнению, заменив правую часть уравнения на ноль:
Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Решая его, получим
, , ,
, ,,
, ,.
2. Общее решение исходного неоднородного уравнения будем искать в виде общего решения однородного уравнения, считая C функцией от x (), то есть. Подставим это решение в исходное уравнение и найдем из него неизвестную функцию.
, .
.
.
Получили уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя уравнение (как это было выполнено при решении уравнения илипервым способом с той разницей, что в первом способе в качестве искомой функции выступала функция, а в нашем случае в качестве искомой функции выступает функция), получим
Тогда общее решение примет вид
.
Как легко заметить общее решение исходного уравнения получились одинаковыми. Частное решение находится аналогично тому, как это было сделано в первом способе.
Задание 3b. .
Разделим обе части равенства на
Полученное уравнение является обыкновенным линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Решим его методом подстановки (методом Бернулли). Полагаем , тогдаи данное уравнение преобразуется к виду.
,
Отсюда получаем два уравнения с разделяющимися переменными: