Тема 7. Елементарні функції алгебри логіки. Функціонально-повні системи логічних функцій

 

7.1 Елементарні функції алгебри логіки.

7.2 Функціональна повнота системи функцій алгебри логіки і наборів логічних елементів.

 

7.1 Елементарні функції алгебри логіки.

Математичний апарат, який описує дії дискретних пристроїв, базується на алгебрі логіки, її ще називають по імені автора – англійського математика Джорджа Буля (1815 – 1864) булевою алгеброю. Практичне застосування алгебри логіки першим з найшов американський вчений Клод Шеннону 1938 р. при дослідженні електричних кіл з контактними вимикачами.

Для формального опису цифрових автоматів використовується апарат алгебри логіки. Логічною (булевою) змінною називається величина, яка може приймати тільки два значення 0 і 1. Сукупність різних значень змінних називаються набором.

Основним предметом булевої алгебри є висловлювання – просте твердження, про яке можна стверджувати: істинне воно (позначають символом 1) або хибне (позначають символом 0). Прості висловлювання позначають буквами, наприклад X₁, X ₂, K X_m , які у цифровій техніці називають змінними (аргументами).

Уданий час головна задача алгебри логіки – аналіз, синтезі структурне моделювання будь-яких дискретних скінчених систем.

Змінну із скінченим числом значень (станів) називають перемикальною, а з двома значеннями – булевою.

Операція – це чітко визначена дія над одним або декількома операндами, яка створює новий об’єкт (результат).

У булевій операції операнди і результат набувають “ булевого значення 1” і “ булевого значення 0”.

Булеві функції можуть залежати від однієї, двох і в цілому n -змінних.

Булева функція n – аргументів може мати до N = 2ⁿ наборів. Оскільки функції приймають тільки два значення, загальне число булевих функцій n –

аргументів дорівнює 2ⁿ = 2²ⁿ . Отже, функція одного аргумента може мати чотири значення: y = x; y = x; y =1 (константа 1); y =0 (константа 0).

Два аргументи надають 16 значень функції. Логічні функції двох змінних приведені в таблиці 7.1.

Основними булевими операціями є заперечення (операція НЕ, інверсія), диз’юнкція (операція АБО, логічне додавання, об’єднання) і кон’юнкція (операція І, логічне множення).

Таблиця 7.1

Аргументи						Функція	Назва логічної функції
X10		0		1	1
X20		1		0	1
0	0			0	0	F0=0	Константа 0
0	0			0	1	F1=x1 ∧ x2	Кон’юнкція, (операція І )
0	0			1	0	F2=x1 ∧	Заперечення по x2
0	0			1	1	F3=x1	Повторення (тавтологія) x1
0	1			0	0	F4=∧ x2	Заперечення по x1
0	1			0	1	F5=x2	Повторення (тавтологія) x2
0	1			1	0	F6=x1⊕x2	Виключаюче АБО (додавання по модулю 2)
0	1			1	1	F7=x1 ∨x2	Диз’юнкція (операція АБО);
1	0			0	0	F8=x1↓x2	Стрілка Пірса (операція АБО-НЕ)
1	0			0	1	F9=x1~x2	Еквівалентність
1	0			1	0	F10=	Заперечення (інверсія) x2
1	0			1	1	F11=x2→x1=	Імплікація від x2 доx1
1	1			0	0	F12=	Заперечення (інверсія x1 )
1	1			0	1	F13=x1→x2=∨ x2	Імплікація від x1 доx2
1	1			1	0	F14=x1|x2=	Штрих Шеффера (операція І-НЕ)
1	1			1	1	F15=1	Константа 1

 

Операції заперечення, диз’юнкції і кон’юнкції можна задати за допомогою таблиць істинності, у яких зліва подані значення операндів, а справа значення булевої функції.

 

7.2 Функціональна повнота системи функцій алгебри логіки і наборів логічних

елементів

Основна вимога, яка ставиться до набору логічних елементів, полягає в тому, щоб за допомогою цього набору можна було побудувати будь-яку логічну схему. З огляду на те, що функціонування елементів однозначно описується функціями алгебри логіки (ФАЛ), застосовуючи операцію суперпозиції, можна з деякої системи ФАЛ отримати будь-яку, скільки завгодно складну ФАЛ. Тоді ця деяка система ФАЛ буде називатися функціонально повною (ФПС ФАЛ).

Функціонально повним є такий набір ФАЛ, який містить хоча б одну функцію, яка:

не зберігає константу "0";

не зберігає константу "1";

не є монотонною;

не є самодвоїстою;

не є лінійною.

Якщо функція f на нульовому наборі змінних дорівнює 0, тобто f(0,0,...,0)=0, то ця

функція зберігає константу "0".

Якщо функція f на одиничному наборі змінних дорівнює 1, тобто f(1,1,...,1)=1, то ця

функція зберігає константу "1".

ФАЛ називається монотонною, якщо при будь-якому зростанні кількості "1" у

послідовності сусідніх (тобто таких, які відрізняються тільки в одному розряді) наборів

змінних (х0,х1,...,xn) значення функції не зменшується.

ФАЛ називається самодвоїстою, якщо на кожній парі протилежних наборів (x0,x1,...,xn) та (/x0,/x1,...,/xn) вона приймає протилежні значення, тобто, якщо виконується умова

f(x0,x1,...,xn) = /f(/x0,/x1,...,/xn),

де знаком "/" позначена операція інверсії.

ФАЛ називається лінійною, якщо її можна зобразити поліномом Жегалкіна без

добутків змінних

f(x0,x1,...,xn) = a0·x0 # a1·x1 # ... # an·xn,

де ai = (0, 1);

· - позначення операції І;

# - позначення операції "додавання за модулем 2".

Для того щоб записати функцію, яка задана таблично, у вигляді полінома Жегалкіна, досить записати цю функцію у вигляді суми за модулем 2 тих наборів аргументів, на яких функція дорівнює 1. Після цього потрібно всі змінні, які входять до отриманого виразу з інверсіями, замінити за допомогою співвідношення /х = х # 1, розкрити дужки і звести подібні члени за допомогою тотожності

х # х # ... # х = х, якщо кількість х непарна;

х # х # ... # х = 0, якщо кількість х парна.

У табл. 7.2 наведені функції двох змінних і позначкою * вказана їх належність

кожному з класів ФАЛ. У графі "Клас" позначено:

0 - зберігає константу "0";

1 - зберігає константу "1";

Л - лінійна;

М - монотонна;

С - самодвоїста.

Таблиця 7.2

х0	0	0	1	1	Назва ФАЛ	Вираз ФАЛ	Клас
х1	0	1	0	1			0	1	Л	М	С
f0	0	0	0	0	константа "0"	0	*		*	*
f1	0	0	0	1	кон'юнкція, І	х0·х1	*	*		*
f2	0	0	1	0	заборона по х1	х0·/х1	*
f3	0	0	1	1	х0	х0	*	*	*	*	*
f4	0	1	0	0	заборона по х0	/х0·х1	*
f5	0	1	0	1	х1	х1	*	*	*	*	*
f6	0	1	1	0	сума за mod 2	0 х0·/х1 v /х0·х1	*		*
f7	0	1	1	1	диз'юнкція, АБО	х0 v х1	*	*		*
f8	1	0	0	0	АБО-НЕ (Пірса)	/(х0 v х1)
f9	1	0	0	1	рівнозначність	х0·х1 v /х0·/х1		*	*
f10	1	0	1	0	інверсія х1	/х1			*		*
f11	1	0	1	1	імплікація звор.	х0 v /х1		*
f12	1	1	0	0	інверсія х0	/х0			*		*
f13	1	1	0	1	імплікація пряма	/х0 v х1		*
f14	1	1	1	0	І-НЕ (Шефера)	/(х0·х1)
f15	1	1	1	1	константа "1"	1		*	*	*

 

 

 

 

 

 

 

Таблиця 7.3

 

Таблиця 7.4

  

a	b	c		f
0	0	0		1
0	0	1		0
0	1	0		1
0	1	1		1
1	0	0		0
1	0	1		0
1	1	0		1
1	1	1		0

a b c	f	a b c	f	a b c	f	a b c	f	a b c	f	a b c	f
0 0 0	1	0 0 0	1	0 0 0	1	0 0 0	1	0 0 0	1	0 0 0	1
0 0 1	0	0 0 1	0	0 1 0	1	0 1 0	1	1 0 0	0	1 0 0	0
0 1 1	1	1 0 1	0	0 1 1	1	1 1 0	1	1 0 1	0	1 1 0	1
1 1 1	0	1 1 1	0	1 1 1	0	1 1 1	0	1 1 1	0	1 1 1	0
а		б		в		г		д		е

Таблиця 7.5

 

abc	f	abc	f
000 001 010 011	1 0 1 1	111 110 101 100	0 1 0 0

 

 

 

 

 

Приклад 7.1. Перевірити, чи створює функція трьох змінних, яка задана табл. 7.3,функціонально повну систему.

1) Оскільки на нульовому наборі f(0,0,0) = 1, то ця функція не зберігає константу "0".

2) Оскільки на одиничному наборі f(1,1,1) = 0, то ця функція не зберігає константу "1".

3) Послідовності сусідніх наборів подані в табл. 7.4 а, ..., е.

Оскільки на всіх шести послідовностях сусідніх наборів функція не є монотонною (а досить було б і на одному), то функція не є монотонною взагалі.

4) Пари протилежних наборів наведені в табл. 7.5.

Оскільки на кожній парі протилежних наборів функція приймає протилежні значення, то функція є самодвоїстою.

5) Для визначення лінійності функції подамо її у вигляді полінома Жегалкіна

f=/a/b/c#/ab/c#/abc #ab/c=(1#a)(1#b)(1#c) # (1#a)b(1#c) # (1#a)bc # ab(1#c) =

=(1#a)(1#b#c#bc) # b(1#a#c#ac) # (bc # abc) # (ab # abc) =

=(1#b#c#bc#a#ab#ac#abc)#(b#ab#bc#abc)#(bc#abc)#(ab#abc) =

= 1 # ( = 1)

# a # ( = a)

# b # b # ( = 0)

# c # ( = c)

# ab # ab # ab # ( = ab)

# ac # ( = ac)

# bc # bc # bc # ( = bc)

# abc # abc # abc # abc = ( = 0)

= 1 # a # c # ab # ac # bc.

Оскільки поліном містить добутки змінних, то функція не є лінійною. Отже, із п'яти необхідних для створення ФПС властивостей відсутня одна - несамодвоїстість, тому дана функція не утворює ФПС.