Решение:

Построим искомую модель в виде уравнения ( 3.1).Используя расчетные значения

( таблица 1 ) и соответствующие формулы (3.3 ) найдем параметры уравнения:

а₁ = ( 45,1 – 40,15 ) / ( 38,5 – 30,25 ) = 0,6;

а₀ = 7,3 – 0,6 * 5.5 = 4.0.

Таким образом, эконометрическая модель распределения выработки по стажу работы для данного примера может быть записана в виде следующего уравнения регрессии:

Ŷ= 4,0 + 0,6х

Правильность расчета параметров уравнения может быть проверена сравнением сумм ∑У = ∑ Ŷ ( при этом возможно некоторое расхождение вследствие округления расчетов ).

Для практического использования моделей регрессии большое значение имеет их адекватность – соответствие фактическим статистическим данным. Достоверность построенной эконометрической модели можно прове-

рить, используя элементы дисперсионного анализа

Вычислив линейный коэффициент парной корреляции (для линейной регрессии) или индекс корреляции ( для нелинейной регрессии ) , оценим тесноту связи изучаемых явлений:

r _xy = (yx – y. x )/σ_xσ_y, ρ_xy = √1 - σ_ост.²/ σ_у² ( 3. 7 )

Значение линейного коэффициента (индекса) парной корреляции лежит в пределах от -1 до 1. ( от 0 до 1 )

Коэффициент ( индекс ) детерминации равен квадрату коэффициента (индекса) корреляции и показывает сколько процентов вариации резуль

тативного признака у объясняется вариацией фактора х .

Средняя ошибка аппроксимации Ā оценивает точность модели и вычис-

ляется по формуле:

Ā =Σ Ai/n , Ai = │( у_i – у_x )/ y_i│. 100% ( 3. 8 )

Допустимый предел значенияĀ – не более 8 - 10 %.

Средний коэффициент эластичности Э _yxi показывает, на сколько про-

центов в среднем по совокупности изменится результат у от своей сред

ней величины у и вычисляется по формуле:

Э _yxi = a_i x_i / y. ( 3. 9 )

Так как корреляционный и регрессионный анализ, особенно в условиях малого и среднего бизнеса, проводится для ограниченной по объему совокупности, то параметры уравнения регрессии, коэффициенты корреляции и детерминации могут быть искажены действием случайных факторов.

Для проверки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции используют t – критерий Стьюдента Оценка проводится путем сопоставления оценок соответствующих параметров с величиной их случайной ошибки ( первая и вторая строки при использовании функции ЛИНЕЙН ).Эта величина имеет t - распределение Стьюдента с n–2 степенями свободы и называется t- статистикой:

t _{а1.факт.} = а₁ / Sа₁; t _{а0.факт.} = а ₀ /Sа₀; t _r.факт. = r/Sr, ( 3. 10 )

где

S а₁=S _ост. / σ_x√n - 2, S_a0=S _ост/√п - 2 , Sr =√ (1-r² )/(n-2) ( 3. 11 )

S²ост. = Σ( Y – Ŷ)²/ n

Для t- статистики проверяется нулевая гипотеза H₀ т.е. утверждение о том, что величина y не зависит от х , то есть а₁ = 0. Альтернативная гипотеза H_a заключается в том,что а₁≠ 0, иными словами, что значение х влияет на величину

у.

Если t _факт. > t _табл., то гипотеза Н₀ отклоняется , т.е. коэффициен-

ты регрессии и корреляции значимы.

Если t _факт. < t _табл., то гипотеза Н₀ принимается , т.е. коэффициен-

ты регрессии и корреляции незначимы.

Однако, если нулевая гипотеза определяет некоторое ненулевое значение величины а₁ , то необходимо использовать более общее выражение :

t = (а₁ – а⁰) / σ_а1 , ( 3.12 )

где а⁰ некоторое ненулевое значение величины а₁, принимаемое в качестве нулевой гипотезы.

Для проверки адекватности уравнения в целом применяют F-тест , с помощью которого оценивают статистическую значимость и надежность оцениваемых характеристик уравнения регрессии. При этом рассчитывается

F _факт. как отношение значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы.

( d_{f 1} = m = p - 1 и d_{f 2} = n – m - 1 = n – p ):

F _факт. = r²_xy * (n-2) ; F _факт = n - p _* S ²_факт.

1 - r²_xy p - 1 S²_ост.

, ( 3. 13 )

где p - число параметров модели.

Так как 1 ≤ F ≤ ∞ , то при F _факт < 1, следует рассматривать величину 1/F _{факт .}

Примечание: Если использовать m - число факторов модели, то p = m + 1 и, тогда, необходимо умножить на _* (n – m - 1 )/ m ).

F _факт. можно также найти с помощью статистической функции ЛИНЕЙН - элемент ( 4, 1 ) в матрице результатов.F _факт. сравнивается с

F _табл. - табличное значение F - критерия Фишера при выбранном уров-

не значимостиα и d_f1 = p – 1,( ) d_f2 = n – p ( ) - степенях свободы.

Если F _факт. < F _табл. ,то гипотеза H₀ принимается и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Если F _факт. > F _табл,то оцениваемые характеристики уравнения регрессии статистически значимы и надежны.

Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку ∆ для каждого показателя:

∆ а₀ = t_табл.· Sа₀ ; ∆ а₁ = t_табл. · Sа_{1 ,} ( 3. 14 )

где

Sа₁=S _ост. / σ_x√n - 2, S_a0=S _ост/√п - 2 , Sr =√ (1-r² )/(n-2)

S²ост. = Σ( Y – Ŷ)²/ n

Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:

а₀ ± ∆ а₀ ; а₁ ± ∆ а₁ ( 3. 15 )

Если в границы доверительного интервала попадает 0 ,т.е. нижняя граница отрицательная, а верхняя положительная, то оцениваемый параметр прини -

мается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительные и отрицательные значения.

Прогнозное значение y_p найдем, подставив в уравнение регрессии

у_х = а ₀+а₁ ·х

соответствующее ( прогнозное ) значение х_р.

Вычислим среднюю ошибку прогноза my_p:

my_p = σ_ост. . √1 + 1/ n +((x_p – x )² / Σ( x_i – x )²) ( 3. 16 )

где

σ_ост. = √Σ( y – y _x)²/(n – (m – 1)); ( 3. 17 )

тогда доверительный интервал прогноза:

у_р ± ∆ у_р; где ∆ у_р = t_табл. mу_р. ( 3. 18 )

Пример2. Вернемся к предыдущему примеру1 и проверим адекватность пос-

троенной модели.Для этого найдем, используя вспомогательную таблицу 2:

Таблица 2.

у-у	(у- у )2	Ŷ- у	(Ŷ- у)2	у - ŷ	(у-Ŷ)2
-3.3	10.89	-2.7	7.29	-0.6	0.36
-2.3	5.29	-2.1	4.41	-0.2	0.04
-1.3	1.69	-1.5	2.25	0.2	0.04
-0.3	0.09	-0.9	0.81	0.6	0.36
-0.3	0.09	-0.3	0.09	0	0
0.7	0.49	0.3	0.09	0.4	0.16
0.7	0.49	0.9	0.81	-0.2	0.04
1.7	2.89	1.5	2.25	0.2	0.04
2.7	7.29	2.1	4.41	0.6	0.36
1.7	2.89	2.7	7.29	-1	1
Σ	32.1	-	29.7	-	2.4

Sост. =√Σ(у – ŷ)²/ n = √ 2.4/10 =0.49

σ_x = √ 38.5 – (5.5)² = 2.87

Тогда расчетные значения t - критерия равны:

t _{β 0}= 4* √(10 – 2 ) / 0.49 = 23.1; t _{β 1} = 0.6* (√(10 – 2 ) /0.49)* 2.87= 9.94

По таблице распределения Стьюдента для 10 – 2 = 8 степеней свободы и уровне значимости α = 0.05, найдем критическое значение t– критерия: t табличное равно 2.31.

Так как t расчетное больше t табличного, для каждого параметра, то оба параметра β₀ и β₁ значимы.

Вычислим коэффициент корреляции:

r _xy =(yx – y. x )/σ_xσ_y = (45.1 – 5.5*7.3 )/2.87* 1.792 = =0.962.

так как σ_y = у² – ( у )² = 56.5 – 7.3² =1.7917

Вывод: существует достаточно тесная связь между производительностью труда и стажем работы.

и коэффициент детерминации:

R² = 0,962*0,962 = 0,925

Вывод: 92,5% вариации у объясняется вариацией х.

Проверим значимость коэффициента корреляции используя критерий Стьюдента:

t= r * (n-2)/(1-r² ) = 0,962 * (10 – 2 )/ ( 1 – 0,925 ) = 9,93.

Вывод:Так как расчетное значение больше критического значения, то коэффициент корреляции значим.

Таким образом, построенная модель в целом адекватна, и выводы, полученные по результатам малой выборки, можно с достаточной вероятностью распространить на всю гипотетическую генеральную совокупность.

Из модели , следует, что возрастание на 1 год стажа рабочего приводит к увеличению им дневной выработкм в среднем на 0.6 изделия.

Вычислив коэффициент эластичности

Э = β₁ х / у = 0,6*5,5/ 7.3 = 0,45 сделаем вывод: с возрастанием стажа работы на 1% следует ожидать повышение производительности труда в среднем на 0,45%.

Анализируя остатки модели можно сделать ряд практических выводов, в частности определить наиболее передовых ( наибольшие положительные остатки ) и отстающих ( наибольшие отрицательные остатки ) рабочих.

ТЕМА № 4. МНОГОФАКТОРНАЯ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ.

Как известно, все явления складываются под воздействием не одного, а нескольких факторов. Между факторами существуют сложные взаимосвязи, поэтому их влияние комплексное и его нельзя рассматривать как простую сумму изолированных влияний. В этом случае используют многофакторную економетрическую модель. Ее анализ удобно проводить используя элементы матричной алгебры. При этом объект исследования представляют регрессионной функцией:

, (4.1)

где Y – регрессанд, X₁, X₂, …, X_m – регрессоры, U – случайные переменные.

Для реализации случайных переменных Y_t и U_t уравнение (4.1) примет вид:

(4.2)

Чтобы статистически оценить параметры регрессионной модели, необходимы ряды данных длиной п для регрессандов (Y) и для каждого из К регрессоров (переменных Х). При этом длина рядов наблюдений должна быть больше количества регрессоров (п>m). Длина временных рядов образует опорный (базовый) период. Для наблюдаемых в моменты времени t =1, 2, …, п значений можно записать п уравнений регрессии:

, (4.3)

где

(4.4)

Вектор наблюдений Y и матрица наблюдений Х образуют матрицу данных D.

(4.5)

Она содержит все данные, необходимые для статистической оценки вектора коэффициентов регрессии и прочих параметров модели.

Метод оценки регрессионных коэффициентов β_m, в котором применяется сумма квадратов ошибок как мера качества адаптации эмпирической функции к наблюдаемым данным, называется одношаговым методом наименьших квадратов (1-МНК). Ошибка уравнения для t-го наблюдения равна:

(4.6)

Тогда сумма квадратов ошибок для Т наблюдений имеет вид:

(4.7)

или

Дифференцируя по , получим, с учетом необходимого условия существования минимума ():

, (4.8)

где - вектор коэффициентов регрессии минимизирующий ; выражение (4.8) называется системой нормальных уравнений. Домножив слева равенство (4.8) на обратную матрицу , получим формулу для вычисления вектора 1-МНК оценок для :

(4.9)

Порядок расчетов по формуле (4.9) может быть следующим:

1. Вычислить ;

2. Определить вектор ;

3. Найти матрицу обратную матрице ;

4. Рассчитать как результат произведения на .

Подставив в оцениваемое уравнение, получим оцененную с помощью 1-МНК эмпирическую регрессионную функцию:

(4.10)

Эмпирический коэффициент β_i определяет количество единиц, на которое изменится при изменении X_i на единицу при прочих равных условиях.

Все n значений – прогноз величины Y (величины ее математического ожидания) образуют вектор Ŷ:

Ŷ (4.11)

Тогда 1-МНК оценщик вектора возмущений u имеет вид:

(4.12)

Важной характеристикой регрессионной модели является дисперсия возмущений . Ее величина должна быть как можно меньше. 1-МНК оценщик для можно вычислить по одной из формул:

(4.13)

(4.14)

где - сумма квадратов ошибок; - количество степеней свободы; - сумма общих квадратов.

Для t – тестирования гипотез по отдельным коэффициентам регрессии и их линейным комбинациям необходимо знать элементы ковариационной матрицы. Ковариационная матрица для , оцененная методом 1-МНК, может быть представлена следующим образом:

(4.15)

На главной диагонали оцененной ковариационной матрицы , i-ый элемент является 1-МНК оценщиком дисперсии i-го коэффициента β_i, а элемент , расположенный вне диагонали, является 1-МНК оценщиком ковариации между и . Наиболее желательными являются, по возможности, узкие доверительные и прогнозные интервалы. И, как следствие, меньшие оцененные дисперсии и ковариации.

Средние коэффициенты эластичности ,для линейной регрессии, расчитыва-

ются по формуле:

Э y_xj = а_j x_j / y (4.16)

Для измерения тесноты связи между двумя из рассматриваемых переменных

( без учета их взаимодействия с другими переменными ) применяются парные коэффициенты корреляции:

r _{y x1} = ( x₁y –x₁ y ) /σ _x1 σ_y ; r _{y x2} = ( x₂y – x₂ y ) /σ _x2 σ_y ;

r _{x1 x2} = ( x₁ x₂ – x₁ x₂ ) /σ _x1 σ _x2 . (4.17)

где

σ _x1 = x₁ ² - ( x₁)²

σ _x2 = x₂ ² – ( x₂) ²

σ_y = y ² – ( y )²

Так как в реальных условиях все переменные, как правило,взаимосвязаны, то на значение коэффициента корреляции частично влияют другие переменные .В связи с этим возникает необходимость исследовать частную корреляцию между переменными при исключении ( элиминировании ) влияния одной или нескольких переменных. Теснота этой связи определяется частными коэффициентами корреляции.между переменными Xi и Xj при фиксированных значениях остальных m - 2 переменных по формуле:

r _{xixj ( x 1,x 2 , …, x m )} = - Аij / A ii * Ajj ,

где A ii и Ajj -алгебраические дополнения элементов r_ii и r_jj матрицы парных коэффициентов корреляции ∆ r ₁₁ или по рекуррентной формуле:

r _{xixj ( x 1,x 2,…,x i-1 ,x i+1 , …, x j-1, x j+1, … ,x m )} =

r_{xixj, x 1,x 2,x i-1 ,x i+1 , …, x m -1} - r_{xixm (x 1,x 2, …, x m –1)} r_{xj x m(x 1,x2,…,xm -1)}

( 1 – r²_{xixm( x 1,x 2, …, x m –1)} ) ( 1 – r²_{xj x m(x 1,x2,…,xm -1)} ) (4.18)

Частные коэффициенты ( индексы ) корреляции, измеряющие степень и влияние на у фактора хi при неизменом уровне других факторов, можно определить по рекуррентной формуле :

r _{yxi ( x 1,x 2,x i-1 ,x i+1 , …, x m )} =

r_{yxi,x1,x2,x i-1 ,x i+1 ,…, xm -1} - r_{yxm (x 1,x 2, …, x m –1)} r_{xi x m(x1,x2,…,xm-1)}

( 1 – r²_{yxm( x 1,x 2, …, x m –1)} ) ( 1 – r²_{xi x m(x 1,x2,…,xm -1)} )

В зависимости от количества переменных, влияние которых исключается, частные коэффициенты корреляции могут быть различного порядка: при исключе-

нии влияния одной переменной получим частный коэффициент корреляции первого порядка; при исключении влияния двух переменных - частный коэф-

фициент корреляции второго порядка и т. д.

Для двухфакторной модели частный коэффициент корреляции первого порядка между признаками х₁ и у при исключении признака х₂ вычисляют по формуле:

r_{y x 1} - r_{yx 2} r_{x 1x2}

r _{yx1 ( x 2 )} = _______________________

( 1 – r²_{yx 2} ) ( 1 – r²_x1x2 )

Для двухфакторной модели частный коэффициент корреляции первого порядка между признаками х₂ и у при исключении признака х₁ вычисляют по формуле:

r_{y x 2} - r_{yx 1} r_{x 1x2}

r _{yx2 ( x 1 )} = ________________________

( 1 – r²_{yx 1} ) ( 1 – r²_x1x2 )

Для двухфакторной модели частный коэффициент корреляции первого порядка между признаками х₁ и х₂ при исключении влияния результативного признака у вычисляют по формуле:

r_{х1 x 2} - r_{yx 1} r_уx

r _{х2x1 ( у )} = _______________________

( 1 – r²_{yx 1} ) ( 1 – r²_уx2 ) ,

где r_yxi – парные коэффициенты корреляции между соответствующими признаками.Очевидно, что коэффициент корреляции r между остатками будет отражать тесноту частной корреляции между переменными х_i и х_j при исключении влияния остальных переменных. Можно показать, что коэффициент корреляции r между остатками равен частному коэффициенту корреляции r_xixj. Частный коэффициент корреляции , как и парный коэффициент rij , может принимать значения от –1 до 1 и его значимость оценивают так же, как и обычного коэффициента корреляции r, но при этом полагают df = n – m –2.

Изучение парных и частных коэффициентов корреляции позволяет отобрать наиболее существенные, значимые факторы. Тесноту совместного влияния фак

торов на результат оценивает коэффициент (индекс )множественной корреля-

ции R yx₁x₂,…,x_m :

R yx₁x₂,…,x_m = 1-σ²_{y ост.} /σ²_y

Значение коэффициента (индекса) множественной корреляции лежит в пределах от 0 до 1 и должно быть больше или равно максимальному парному индексу корреляции r _yxi .

В случае линейной двухфакторной связи совокупный коэффициент множественной корреляции можно найти следующим образом:

R_yx1x2 = ( r²_{y x1}+ r²_{y x2} – 2 r _{y x1} r_{y x2} r_{x1 x2} ) / ( 1 – r²_{x1 x2} )

Индекс множественной корреляции для уравнения в стандартизованном виде можно записать следующим образом:

R yx₁x₂,…,x_m = Σ βι r_yxι

При линейной зависимости коэффициент множественной корреляции можно, также, определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:

R yx₁x₂,…,x_m = 1- ∆ґ /∆ґ₁₁ ,

где

1r_{y x1} r_{y x2} … r_{y x m}

∆ r = r_{y x1} 1 r_x1x2 … r_{x1 x m}

r_{y x 2} r_x2x1 1 … r_{x2 x m}

_{--------------------------------------------------------}

r_{y x m} r_{xm x1} r_{xm x2} … 1

- определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

1 r_{x1 x2} r_x1x3 … r_{x1x m}

∆ r ₁₁ = r_{x2 x1} 1 r_x2x3 … r_{x2 x m}

r_{x3 x 1} r_x3x2 1 … r_{x3 x m}

_{--------------------------------------------------------}

r_{x m x1} r_{xm x2} r_{xm x3} … 1

• определитель матрицы межфакторной корреляции.

Регрессионное уравнение оценено тем лучше, чем больше при прочих равных условиях R².При вычислении R² наблюдается следующая тенденция:R² (c m+1 регрессорами) > R² (c m регрессорами).Следовательно, уравнение с относительно большим числом регрессоров, как правило, будут давать лучшие результаты, чем с малым их количеством. Однако с каждым дополнительным регрессором теряется одна степень свободы, поэтому в статистическом отношении наличие дополнительного регрессора может быть не всегда желательным. Для того, чтобы определить на какую величину уменьшается R² если i-й регрессор будет исключен, используют частный коэффициент детерминации .

[2.5]

где ti- t – статистика для i-го коэффициента. Используя скорректированные коэффициенты детерминации можно определить изменение R², вызванное дополнительным регрессором. Наиболее часто используются скорректированные коэффициенты по Тэйлу:

[2.6]

и по Амемии:

[2.7]

Совокупный коэффициент ( индекс ) множественной детерминации опреде

ляет только качество выравнивания по уравнению регрессии. Так как многофакторный регрессионный анализ оперирует случайными наблюдениями, и необязательно распределенными по многомерному нормальному закону ( этому закону должны подчиняться отклонения фактических значений регрессанда от расчетных ), то показатели множественной регрессии и корреляции сами могут оказаться подверженными действию случайных факторов. Поэтому только после проверки адекватности уравнения в целом, оно может использоваться для дальнейшего экономического анализа.

Общая оценка адекватности уравнения может быть получена с помощью дисперсионного F– критерия Фишера:

F = R²(n-m-1) / (1- R²). m, или F = σ ²_у .(n-m-1) / σ ²_ост.. m

где m -число факторов.( число параметров р = m + 1 )

Полученное значение F– критерия ( F_расч. ) сравнивают с табличным для принятого уровня значимости и чисел степеней свободы k₁ = m и k₂ = n-m-1.

Если F_расч. > F_табл. , то уравнение регрессии статистически значимо, т.е.

доля вариации, обусловленная регрессией, намного превышает случайную ошибку.

Принято считать, что уравнение регрессии пригодно для практического использования в том случае, если F_расч. > F_табл не менее чем в 4 раза.

Частный F– критерий Фишера оценивает статистическую значимость присутствия каждого из факторов в уравнении регрессии и определяется по формуле:

R² yx₁x₂,…,x_m - r ²_{yxi (x 1,x 2,x i-1 ,x i+1 , …, x m)} .(n-m-1)

F_{i част.} = -------------------------------------------------------------------------,

R² yx₁x₂,…,x_m

Или

F_i =, где

С_ii - i –ый диагональный элемент матрицы С обратной к корреляционной матрице R:

C = R^-1 , где R = (X^T.X)/(n –1)

Для оценки значимости коэффициентов регрессии при линейной зависимости используют t - критерий Стьюдента при n – (m + 1 ) степенях свободы :

t_a1 = a₁σ_x1 * √1-r²_x1x2 * √n-m-1 / σ_y √1-R²yx₁x₂

t_a2= a₂σ_x2 * √1-r²_x1x2 * √n-m-1 / σ_y√1-R²yx₁x₂

t_Ryx1x2 = Ryx₁x₂ * √n-m-1 / √1-R²yx₁x₂

Если в уравнении все коэффициенты регрессии значимы, то данное урав -

нение признают окончательным и применяют в качестве модели изучаемого показателя для последующего анализа.

Оценку значимости коеффициентов регрессии с помощью t – критерия

используют, также, для отбора существенных ( информативных ) факторов при многошаговом регрессионном анализе.Он заключается в том, что после оценки значимости всех коэффициентов регрессии из модели исключают тот фактор, коэффициент при котором незначим и имеет наименьшее значение критерия. Затем строится уравнение регрессии без исключенного фактора, и снова проводится оценка адекватности уравнения и значимости коэфициентов регрессии. Процесс длится до тех пор, пока все коэффициенты регрессии не окажутся значимыми, что свидетельствует о наличии в регрессионной модели только существенных факторов.В некоторых случаях расчетное значение t _расч. находится вблизи t_табл., поэтому с точки зрения содержательности модели такой фактор можно оставить для последующей проверки его значимости в сочетании с другим набором факторов.

При построении уравнения множественной регрессии может возникнуть проблемма мультиколлинеарности факторов, их тесной линейной связи.

Наиболее полно исследовать мультиколлинеарность можно с помощью алгоритма ФАРРАРА-ГЛОБЕРА.Он содержит три вида статистических критериев с помощью которых проверяется мультиколлинеарность соответственно: 1). всего массива объясняющих переменных (хи-квадрат);2). каждой объясняющей переменной с остальными объясняющими переменными ( F- критерий); 3).каждой пары объясняющих переменных ( t -критерий ).