Тема №3. Простая эконометрическая модель.

Закономерности в экономике выражаются в виде многочисленных связей и свойств экономических показателей., а также в виде математических моделей их поведения. Важными практическими задачами являются получение количественной оценки наличия взаимосвязей, их направление ; построение экономических моделей и оценка их параметров, выделение наиболее существенных факторов , влияющих на результативный признак . Для решения этих задач применяется корреляционно-регрессионный анализ

Корреляция - это статистическая зависимость между случайными величина­ми, не имеющими строго функционального характера, при которой изменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания другой.

Различают следующие варианты зависимостей:

1. Парная корреляция - связь между двумя признаками (результативным и факторным или двумя факторными).

2. Частная корреляция - зависимость между результативным и одним фак­торным признаками при фиксированном значении других факторных призна­ков.

3. Множественная корреляция - зависимость результативного и двух или бо­лее факторных признаков, включенных в исследование.

Корреляционный анализ имеет своей задачей количественное определение тесноты связи между двумя признаками (при парной связи) и между результативным и множеством факторных признаков (при многофакторной связи).

Теснота связи количественно выражается величиной коэффициентов корреляции. Коэффициенты корреляции, представляя количественную характеристику тесноты связи между признаками, дают возможность определять «полезность» факторных признаков при построении уравнений множественной регрессии. Величина коэффициента корреляции служит также оценкой соответствия уравне­ния регрессии выявленным причинно-следственным связям.

В практике экономических исследований достаточно часто, по имеющимся статистическим данным, необходимо определить функциональную зависимость , которая дает наилучшее приближение к исходным данным. .Эти формы зависимости описывают взаимосвязи лишь в среднем и вычисленные значения Y функции будут отличаться от опытных, т.к. на эту связь влияют и другие факторы не учитываемые при исследовании.

Соответствующие методы приближения называют регрессионным анализом. .Задачами регрессионного анализа являются выбор типа модели ( формы связи ), установление степени влияния независимых переменных ( регрессоров ) на зависимую ( регрессанд ) и определение расчетных значений зависимой переменной

Корреляция и регрессия тесно связаны между собой: первая оценивает силу (тесноту) статистической связи, вторая исследует ее форму.

Методы и модели корреляционного и регрессионного анализа и их комплексное использование занимают центральное место в математическом аппарате эконометрии.

п 3.1 Рассмотрим классическую линейную регрессионную модель. Она состоит из двух основных частей:

1. Линейной стохастической функции регрессии;

2. Предпосылок о стохастических и прочих свойствах составных частей этого уравнения.

Для линейной стохастической функции регрессии характерно то, что ее регрессоры (независимые переменные) не случайные (детерминированные) величины. Однако эта предпосылка не выполняется для многих прикладных моделей, поэтому в группу регрессоров включают стохастические величины и рассматривают обобщенные классические модели. При этом объект исследования представляют регрессионной функцией:

Y = f(x) + U

При изучении связей экономических показателей производства (деятельности ) используют различного вида уравнения линейной и нелинейной связи (регрессии).

Нелинейные регрессии делятся на два класса: нелинейные относительно переменных ( но линейные по оцениваемым параметрам ) – полиномы разных степеней,гипербола и другие функции; и нелинейные по оцениваемым параметрам – степенная, показательная, экспоненциальная и др. Внимание к линейным регрессиям объясняется ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные формы связи с помощью простых преобразований, например логарифмирования или замены переменных, можно привести к линейной форме. При этом необходимо чтобы нормальный закон распределения в моделях имел, например, логарифм вектора возмущений, а не вектор как в случае линейной формы связи. Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров.

Относительно отклонений =Y - Ŷ сделаем следующие предпосылки:

1) величина является случайной переменной;

2) математическое ожидание равно нулю;

3) дисперсия постоянна: для всехi и j;

4) значения независимы между собой.

Эконометрическая модель с двумя переменными (простая модель) имеет вид:

Ŷ = a₀ + a₁x + ε, (3.1)

где ε - случайная ( стохастическая ) составляющая. Предположим, что стохастическая составляющая нормально распределенная, имеет нулевое математическое ожидание и постоянную дисперсию . Тогда уравнение регрессии примет вид:

Ŷ = a₀ + a₁x

Для оценки параметров уравнения используют метод наименьших квадратов ( МНК ). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (регрессанда ) Y от теоретических Ŷ минимальна.

Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, составляется и решается следующая система нормальных уравнений относительно параметров регрессии а₀ и а₁:

na₀ + Σx_i.a₁ = Σy_i

Σx_i.a₀ + Σxi²a₁ = Σ x_iy_i ( 3.2 )

Можно, так же, использовать формулы, которые следуют из этой системы:

а₀ = y - а₁ . x ; а₁ = ( x.y - x . y )/ ( x² ) - (x )² ) (3. 3)

Определив значения а₀ и а₁ и подставив их в уравнение связи найдем Ŷ.

Известно, что если приведенные выше условия относительно отклонений выполняются, то оценки а и b , полученные с помощью метода наименьших квадратов, обладают следующими свойствами:

1. Оценки являются несмещенными, т.е. математическое ожидание оценки каждого параметра равно его истинному значению: М(а) = ; М(b) = . Это вы­текает из того, что М() = 0, и говорит об отсутствии систематической ошибки в определении положения линии регрессии.

2. Оценки состоятельны, т. к. дисперсия оценок параметров при возрастании числа наблюдений стремится к нулю:

;

Иначе говоря, надежность оценки при увеличении выборки растет.

3. Оценки эффективны, они имеют наименьшую дисперсию по сравнению с любыми другими оценками данного параметра.

Перечисленные свойства не зависят от конкретного вида распределения ве­личин тем не менее обычно предполагается, что они распределены нормально. Эта предпосылка необходима для проверки статистической значимости сделан­ных оценок и определения для них доверительных интервалов.

Если предположения 3) и 4) нарушены, т. е. дисперсия возмущений непосто­янна или значения связаны друг с другом, то свойства несмещенности и со­стоятельности сохраняются, но свойства эффективности - нет.

К получению параметров модели :

Рассмотрим случай, когда имеется п наблюдений двух переменных х и у. Предположив, что у зависит от х, и необходимо подобрать уравнение

(1.1)

Расчетное значение зависимой переменной и отклонениядля наблюдения i определяются уравнениями:

Сумма квадратов отклонений равна:

Тогда требование наименьших квадратов записывается в виде:

, (1.2)

т. е. сумма квадратов отклонений фактических ординат точек корреляционного поля от ординат, вычисленных по уравнению (1.1), должна быть наименьшей.

Метод нахождения параметров прямой, удовлетворяющей этому требованию, называется одношаговым методом наименьших квадратов(1-МНК).

Для парной линейной регрессии задача заключается в нахождении неизвест­ных параметров а и b, минимизирующих сумму квадратов отклонений, т. е. функцию S:

Значения а и b, удовлетворяющие минимуму функции S, находят из уравнений:

,

Выразим квадрат i-го остатка:

.

Суммируя по всем n наблюдениям, запишем S в виде:

Тогда условия минимизации функции S принимают вид:

Подставив в первое уравнение вместоивместо, получим:

Следовательно,

Подставив полученное выражение для а во второе уравнение минимизации, имеем:

После преобразования получим:

Откуда

или

Так как показатель ковариации равен:

а дисперсия равна:

то параметр b можно выразить как:

Коэффициент корреляции определяется по формуле:

где - среднее значение произведений х и у; , - средние значения соответ­ствующих признаков; и - среднеквадратические отклонения, найденные по признаку х и по признаку у.

Коэффициент корреляции можно также установить через показатель ковариации:

Зная значения , , , можно вычислить коэффициенты корреляционного уравнения по следующим формулам:

.

П.3.2 Определение параметров нелинейной регрессии