RGR_2_Ekonom

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черкасский государственный технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

zx 2z y 0 .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2016

Размер:

962.14 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

РОЗРАХУНКОВІ ЗАВДАННЯ

Завдання 1. Перевірити, що функція

z z(x, y)

задовольняє заданій

умові,

та знайти частинні похідні другого порядку.

ln( x	2	xy y	2	) ;

					xzx yz y 2 .



	x sin	x
	x sin	y
		y

				y
x	2		y			2
x			y
x ln				y	;
x ln				x	;
				x
(x		2		y			2
(x				y

;

)


2xzx 2yz y z .
1				1			z			.

x	z x			y	z y		y	2
x				y				2

						z .
xzx yz y						z .
tg		x	;						2z

		y		xzx yz y
		y

2x 3y
x	2	y	2

;

xz	yz
x	y

	x	2	y	2
z	x		y
z		x y
		x y

;

z y

2(x y) x y

8.	z
9.	z

ln
y	2

3x

x y

x	3	y	3

arcsin(xy

;

)

xz
	x
;	x	2	z

yz	3(x3 y3
y

xyz y2

) .

0 .

11. z cos(x2 y2 ) ;

yz	xz
x	y

12.

13. z

	x
e	y	; xz
e		; xz

arcsin

yz
y

y ; xz y x

0 .

z y 0 .

14.

z ln(e

)

;

z y 1.

15. z arctg

;

yzx

xzy

16. z

;

0 .

)

z y

17. z sin x ln(sin y sin x)

;

zx cos y z y cos x cos x cos y

18. z arccos(x

)

;

0 .

yzx xz y

19. z

;

ln( x

)

z y

20. z

;

xzx

yz y

21. z ln( x

);

0 .

yzx xz y

22.

z ye

;

xz .

xyz y

3x e

0 .

23.

;

zx xyz y

24. z

;

x2 y2

z y

25.

z ln( x e

)

;

xzx z y

Завдання 2. Для функції U U (x, y, z)							знайти градієнт в точці

похідну за напрямом вектора				S в точці		M 0 .

	U (x, y, z) x3		y2 z 2 , M0 (1, 3,4) ,
1.	U (x, y, z) x3		y2 z 2 , M0 (1, 3,4) ,					S (1, 3,4) .

				9 z2 , M
2.	U (x, y, z)	xy		9 z2 , M	0	(1,1,0)	, S	( 2,2, 1) .
					0

M 0

та

U (x, y, z) z	2

arctg (x

M	(1,2, 1)
0

(1,2, 2)

(x, y, z) xy

x z

M	0	( 4,3, 1)
	0

(0,3, 4)

	y	2
(x, y, z) ln x	y

z	2

 

M	(1, 3,4)
0

( 2,1,2)

(x, y, z)

x	2	y	2	z

ln( z

M 0

(1,1,2)

(3, 4,0)

U (x, y, z)

ln(3 x	2	)

xy	2	z

M	(1,3,2)
0

(2,2, 1)

(x, y, z)

y ln 1

x	2	arctgz

M 0

(0,1,1)


S

(8,4,8)

U (x, y, z) sin(x 2 y)

xyz

M 0			3
M 0		,	2
	2		2

(0,4,3)

10.

	(x, y, z)	x
	(x, y, z)	y
		y

x y

M	(4,1, 2)
0


S

(4, 3,0)

11.	U
12.	U
13.	U
14.	U

(x, y, z) (x, y, z) (x, y, z) (x, y, z)

xyz , M 0 (5,1,2) ,
											S (4,3,12) .
x	2		2		2
		y		z		,	M 0 (1, 1,3) , S ( 1,2, 2) .

ln( x			2	y			2	1)			x	2	z	2	, M 0	(3,0, 4)

	xy					4 z			2
										, M 0		(1,1,0) , S (1,2,2) .

( 4,8, 8)

15.

U (x, y, z) arctg

y x

M	(2,2, 1)
0

, S (4,3,0) .

16.

U (x, y, z)

1	x	2	y	x	3	y
4

M	(2,2,4)
0

2,

3 2

17. U (x, y, z) x2 y2 z ln( z 1) , M 0 (1,1,2) , S (1,2,2) .

18.

U (x, y, z) x	2

arctg ( y

M 0

(2,1,1)

, S (0,3, 4) .

19.

(x, y, z) arctg

y x

M	(2,2, 1)
0

(4,3,0)

20.

(x, y, z) x	2	y xz	2

yxz

M	(2,3,4)
0


S

( 2,2, 1)

21.

(x, y, z)	x	2

y	2

z	2

(0,3,4)


S

(8,4, 8)

22.

(x, y, z)	xy	3

1 2

xz	3

M	0	( 2, 2,1)
	0

(2, 1,2)

23. U (x, y, z) y2 ln( x y z) , M0 (0,1,0) , S (4, 8,8) .

24.

	(x, y, z)	x
	(x, y, z)	z
		z

y	2

M	(9,1,3)
0


S

(0, 3,4)

25.

(x, y, z) arctg

x y

z	2

M	(1,1,2)
0


S

( 1, 2,2)

Завдання 3. Нехай фірма випускає два види товарів. Позначимо їх

обсяги через x і	y . Нехай ціни на ці товари	P	і P	ум. од., а функція витрат
		x	y
C(x, y) . Знайти максимальний прибуток, який може отримати фірма.

;

C(x, y) 2x	2

y	2

;

C(x, y) x	2	xy

y	2

3.	Px
4.	Px

5.Px

6.Px

12	; Py 18 ; C(x, y) x2 2xy 2y2 .
18	; Py 22	; C(x, y) x2 2xy 3y2 .
22 ; Py 10		; C(x, y) 3x2 2xy y2 .
9 ;	Py 15 ; C(x, y) x2 xy 2 y2 .

;

20 ;

C(x, y) 2x	2

y	2

;

14 ;

C(x, y) 2x	2

2xy

3y	2

9. Px 20 ; Py 36; C(x, y) x2 2xy 2 y2 .

10. Px

;

C(x, y) 2x	2

4xy

1 2

y	2

11. Px

12.	Px
13.	Px

18 ;
17	;
19	;

Py Py Py

15 ;
18	;
10	;

C(x, y) 2x		2		xy

C(x, y) x	2		3xy

C(x, y) 4x			2	xy

y	2

y	2

y	2

14.

;

; C(x, y) x2 4xy 3y2 .

15.	Px
16.	Px



22 26

;

Py Py



24 20

;

C(x, y) C(x, y)

2x2 3xy

3x2 4xy



3y	2

2 y	2

17.	Px
18.	Px
19.	Px
20.	Px
21.	Px


15	; Py
18	; Py
25		; Py
42 ;		Py

20 ; Py

18	; C(x, y) x		2			xy 2 y			2		.

32		; C(x, y) x		2	4xy 3y					2		.

30		; C(x, y) 2x		2	3xy 3y			2	.

28 ;	C(x, y) 4x		2		5xy 2y					2	.

24 ; C(x, y) 2x						2	xy 2 y					2

22.

;

C(x, y) 2x	2	xy

y	2

23.

; Py 16 ; C(x, y) 3x2 4xy y2 .

24.

;

; C(x, y) 3x2 4xy 2 y2 .

25.

;

C(x, y) x	2

2y	2

Завдання 4. Результати експерименту

найменших квадратів знайти коефіцієнти	k і
1)	2)

наведені в таблиці. Методам функці

2 3 5 6 9 12

3 4 6 5 7 8

3) x

y 5) x

y 7) x

y 9) x

y 11) x

y 13) x

y 15) x

y 17) x

19)

										4)
1	2			3		4	6		7	x
0,5	0,6			1	0,9		1,5		1,2	y
										y
										6)
0	1			2		4	7		8	x
0,4	1		2,5		1,9		2,7		4,3	y
										y
										8)
1	2			4		5	6		8	x
1,2	1,6			2,5		3	3,4		4	y
										y
										10)
3	4			5		6		7	8	x
0,7	1,9			2,1		2,5	3,4		4,5	y
										y
										12)
2	3		4		5	6		7		x
2	4	3,5			5	5,5		5,5		y
										y
										14)
2	4			5		7	8		9	x
0,7	1		1,5		1,3		1,4		1,7	y
										y
										16)
2	3			5		6	7		9	x
1,5	1,6			1,4		2	2,2		2,5	y
										y
										18)
1	2			3		4		5	7	x
0,9	1,6			2,5		3,1	3,5		4,5	y
										20)
	4	6		7		10	13			x
3	4	6		7		10	13

										y
4	5	7		6		8	9			y
4	5	7		6		8	9

2 2,5 3,5 4 4,5 5

0	1	2	3	5	6
0,5	0,6	1	0,9	1,5	1,2
1	2	3	5	8	9
1,4	2	3,5	2,9	3,7	5,3
2	3	5	6	7	9
2,2	2,6	3,5	4	4,4	5
1	4	5	6	7	8
0,2	0,3	0,4	0,8	0,9	1
3	4	5	6	7	8

0,7 1,9 2,1 2,5 3,4 4,5

2	3	4	5	6	7
2	4	3,5	5	5,5	5,5
2	3	4		5	6	7

1,7 2,9 3,1 3,5 4,4 5,5

1 3 2,5 4 5,5 4,5

21) x

y 23) x

3 5 6 8 9 10

1,7 2 2,5 4 5,5 4,5

1	2	4	5	6	8
0,5	0,6	0,4	1	1,2	1,5

22) x

y 24) x

y 25) x

1,9 2,6 3,5 4,1 4,5 5,5

1,3 1,4 1,5 2 2,1 2,3

2,1 2,4 2,6 2,6 2,7 2,8

Контрольні запитання

1.Функція двох змінних. Основні означення, способи задання,

графік.

2.Границя функції двох змінних.

3.Неперервність функції двох змінних.

4.Частинні похідні першого порядку.

5.Повний диференціал функції двох змінних. Застосування повного диференціала в наближених обчисленнях

6.Похідна за напрямом.

7.Градієнт функції.

8.Частинні похідні вищих порядків.

9.Локальні екстремуми функцій двох змінних.

10.Необхідні і достатні умови локального екстремуму функції двох

змінних.

11.Метод найменших квадратів.

§2. Інтегральне числення функції однієї змінної

Основні поняття і теореми: [1 – ст. 508-558; 2 – ст. 297-349; 3 – ст. 269-

295; 4 – ст. 330-405].

Зразки розв’язування задач

2.1. Невизначений інтеграл

Задача 2.1.1

Знайти невизначені інтеграли:

а)

Розв’язання


4 9	x	2
4 9		2
	15		x
			x

б)

25			x			9		x					25		x					3	x		5	x
25			dx 4			9				dx 2			25							3			5	dx
			dx 4						x	dx 2					x	dx 4						dx 2		dx
						15			x				15		x					5			3
						15							15							5			3
					3		x							5			x
					3						3	e		5				5		C.
									log		3						log	5	e
				4					log				2				log		e
					5						5			3				3
											5							3
		3x 1			dx
	2				dx
x	2	6x 10
x		6x 10

Розв’язання

3x 1

x 3 t

3(t 3) 1

3t 10

dt 3

tdt

dx x t 3

(t 3)

6(t

3) 10

dx dt

ln t 2 1 10arctgt C

ln x2

6x 10

10arctg (x 3) C.

t 2 1

в) x3 ln( x 1)dx

Розв’язання

u ln( x 1),	du		dx	,
u ln( x 1),	du	x 1		,	x4
		x 1			x4		1
x3 ln( x 1)dx			x4			ln( x 1)
x3 ln( x 1)dx						ln( x 1)
					4		4
dv x3dx,	v
dv x3dx,	v
		4

		x	4					1			3			2						1
		x	ln( x 1)					1			3	x		2		x 1				1
			ln( x 1)						x			x				x 1					dx
		4						4												x 1
	x	4					x	4		x	3		x		2		x	1
	x		ln( x 1)				x			x			x				x	1	ln x		1 C.
	4		ln( x 1)				16			12			8				4	4	ln x		1 C.
	4						16			12			8				4	4
г)			dx
г)	(9 x			2		3
				2	)	3
					)

x4 dx

Розв’язання

dx				x 3sin t	3costdt			3costdt
					9 9sin			3
	2		3	dx 3costdt		2	3	3	t
(9 x	2	)	3	dx 3costdt		2	3	27 cos	t
(9 x		)					t

Оскільки sin t

Отже,	dx
Отже,	(9 x	2
		2

3x ,

)	3

					1		dt			1	tgt
					9			2		9	tgt
								2	t
							cos		t
					x	2		1				2
cost			1		x			1	9	x		2
cost			1		9			3	9	x
					9			3
	1		x		C.
	9			2	C.
	9	9	x	2
		9	x

C.
, то tgt	sin t	x
	cost
		9 x2
		9 x2

2.2. Визначений інтеграл

Задача 2.2.1

Обчислити визначені інтеграли.

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.08.201952.16 Кб1PSPE.docx
#
25.09.201986.19 Кб1PSPE_full.docx
#
11.09.2019142.34 Кб2Rekomendatsiyi_shodo_vikonannya_organizatsiyno_...doc
#
21.07.2019276.61 Кб3RG .docx
#
23.02.201649.4 Кб8RGR_2.docx
#
23.02.2016962.14 Кб2RGR_2_Ekonom.pdf
#
23.02.2016134.66 Кб11RGR_Kosenko.doc
#
08.12.20181.63 Mб2RGR_poshta_bilan (Автосохраненный).doc
#
18.11.2019384 Кб26Rozdatkovy_material_1-6.doc
#
23.02.20161.9 Mб49rsu379.pdf
#
23.02.201615.96 Кб66seminar_4.docx

										4)
1	2			3		4	6		7	x
0,5	0,6			1	0,9		1,5		1,2	y
										y
										6)
0	1			2		4	7		8	x
0,4	1		2,5		1,9		2,7		4,3	y
										y
										8)
1	2			4		5	6		8	x
1,2	1,6			2,5		3	3,4		4	y
										y
										10)
3	4			5		6		7	8	x
0,7	1,9			2,1		2,5	3,4		4,5	y
										y
										12)
2	3		4		5	6		7		x
2	4	3,5			5	5,5		5,5		y
										y
										14)
2	4			5		7	8		9	x
0,7	1		1,5		1,3		1,4		1,7	y
										y
										16)
2	3			5		6	7		9	x
1,5	1,6			1,4		2	2,2		2,5	y
										y
										18)
1	2			3		4		5	7	x
0,9	1,6			2,5		3,1	3,5		4,5	y
										20)
	4	6		7		10	13			x
3	4	6		7		10	13

										y
4	5	7		6		8	9			y
4	5	7		6		8	9

0	1	2	3	5	6
0,5	0,6	1	0,9	1,5	1,2
1	2	3	5	8	9
1,4	2	3,5	2,9	3,7	5,3
2	3	5	6	7	9
2,2	2,6	3,5	4	4,4	5
1	4	5	6	7	8
0,2	0,3	0,4	0,8	0,9	1
3	4	5	6	7	8

										4)
1	2			3		4	6		7	x
0,5	0,6			1	0,9		1,5		1,2	y
										y
										6)
0	1			2		4	7		8	x
0,4	1		2,5		1,9		2,7		4,3	y
										y
										8)
1	2			4		5	6		8	x
1,2	1,6			2,5		3	3,4		4	y
										y
										10)
3	4			5		6		7	8	x
0,7	1,9			2,1		2,5	3,4		4,5	y
										y
										12)
2	3		4		5	6		7		x
2	4	3,5			5	5,5		5,5		y
										y
										14)
2	4			5		7	8		9	x
0,7	1		1,5		1,3		1,4		1,7	y
										y
										16)
2	3			5		6	7		9	x
1,5	1,6			1,4		2	2,2		2,5	y
										y
										18)
1	2			3		4		5	7	x
0,9	1,6			2,5		3,1	3,5		4,5	y
										20)
	4	6		7		10	13			x
3	4	6		7		10	13

										y
4	5	7		6		8	9			y
4	5	7		6		8	9

0	1	2	3	5	6
0,5	0,6	1	0,9	1,5	1,2
1	2	3	5	8	9
1,4	2	3,5	2,9	3,7	5,3
2	3	5	6	7	9
2,2	2,6	3,5	4	4,4	5
1	4	5	6	7	8
0,2	0,3	0,4	0,8	0,9	1
3	4	5	6	7	8

										4)
1	2			3		4	6		7	x
0,5	0,6			1	0,9		1,5		1,2	y
										y
										6)
0	1			2		4	7		8	x
0,4	1		2,5		1,9		2,7		4,3	y
										y
										8)
1	2			4		5	6		8	x
1,2	1,6			2,5		3	3,4		4	y
										y
										10)
3	4			5		6		7	8	x
0,7	1,9			2,1		2,5	3,4		4,5	y
										y
										12)
2	3		4		5	6		7		x
2	4	3,5			5	5,5		5,5		y
										y
										14)
2	4			5		7	8		9	x
0,7	1		1,5		1,3		1,4		1,7	y
										y
										16)
2	3			5		6	7		9	x
1,5	1,6			1,4		2	2,2		2,5	y
										y
										18)
1	2			3		4		5	7	x
0,9	1,6			2,5		3,1	3,5		4,5	y
										20)
	4	6		7		10	13			x
3	4	6		7		10	13

										y
4	5	7		6		8	9			y
4	5	7		6		8	9

0	1	2	3	5	6
0,5	0,6	1	0,9	1,5	1,2
1	2	3	5	8	9
1,4	2	3,5	2,9	3,7	5,3
2	3	5	6	7	9
2,2	2,6	3,5	4	4,4	5
1	4	5	6	7	8
0,2	0,3	0,4	0,8	0,9	1
3	4	5	6	7	8