- •Курсова робота з дисципліни «Інформаційні технології в інженерних розрахунках»
- •Завдання
- •На курсовий проект (роботу) студента
- •Кирпиченко Олени Романівни
- •__________________________________________________________________
- •Постановка задачі у загальному вигляді
- •2.Загальні відомості про чисельні методи та способи їх розв'язання.
- •3. Теорія застосування системи MathCad.
- •4. Символьні обчислення, символьне рішення рівнянь засобами MathCad.
- •4.1. Основи застосування символьного процесора (теорія).
- •4.2. Виконання індивідуальних завдань.
- •5.3. Виконання індивідуального завдання.
- •6.3. Виконання індивідуального завдання.
- •7.3. Виконання індивідуального завдання.
- •2. З використанням вмонтованих функцій MathCad.
- •3.2. З використанням вмонтованої функції Odesolve().
- •Завдання №3 інтерполювання функції. Апроксимація експериментальних даних . Засоби нелінійної апроксимації. Розрахунок параметрів рівняння антуана
- •Інтерполяція. Інтерполяційний поліном Лагранжа
- •Лінійна апроксимація
- •Розрахунок параметрів рівняння антуана
- •Порівнюємо отримані результати
- •Визначаємо похибку апроксимації:
- •Завдання 4. Програмування в системі mathcad.
- •Інтерполяція ньютона
4.2. Виконання індивідуальних завдань.
4.2.1. Спрощення виразу.
За допомогою панелі Символика (Simplify)
За допомогою команди Символика/Упростить
упрощает
к
4.2.2. Робота з поліномами високих порядків.
4.2.2.1. Розкладання полінома на множники.
1.За допомогою панелі Символика/Factor:
2.За допомогою меню Символика/Фактор:
4.2.2.2. Заміна змінної виразом.
Підставити вираз x=y+z в g(x):
1.За допомогою меню Символика/Переменные/Замена
За допомогою панелі
4.2.2.3. Визначення коренів полінома.
Визначити корені полінома g(x) за допомогою функції polyroots().
4.2.3. Розкладання виразу на елементарні дроби.
1.За допомогою меню Символика/Переменные/Преобразование в частичные доли (в простую дробь)
2.За допомогою панелі
4.2.4. Розкладання виразу в ряд з заданою точністю.
Розкласти вираз в ряд з заданою точністю, x(0)=0, порядок розкладу n=6, використавши команду Символика/Переменные/ Разложить на составляющие (Расширить до рядов).
За допомогою меню
За допомогою панелі
4.2.5. Знаходження первісної аналітично заданої функції.
Знайти первісну аналітично заданої функції f(x), використавши команду Символика/Переменные/Интеграция.
За допомогою меню
За допомогою панелі
4.2.6. Знаходження символьного значення першої і другої похідних аналітично заданої функції.
Визначити символьне значення першої і другої похідних f(x), використавши команду Символика/Переменные/Дифференциалы
За допомогою меню
За допомогою панелі
4.2.7. Робота з матрицями.
Транспортуйте матрицю за допомогою команди Символика /Матрицы/ Транспонирование.
1.За допомогою меню
2.За допомогою панелі
Інвертуйте матрицю за допомогою команди Символика/Матрицы/ Инвертирование.
1.За допомогою меню
2.За допомогою панелі
Обчисліть визначник матриці за допомогою команди Символика/ Матрицы/ Определитель.
1.За допомогою меню
2.За допомогою панелі
4.2.8. Обчислення границь.
Обчисліть межу.
1.За допомогою меню
2.За допомогою панелі
4.2.9.Знайти рішення рівняння в символьному вигляді.
1.За допомогою меню
2.За допомогою панелі
5. Рішення диференційних рівнянь з використанням пакету MathCad.
5.1. Постановка задачі
5.2. Теоретичні відомості з інтегрування диференційних рівнянь.
Розв’язування диференціального рівняння. Постановка задачі (задача Коші) має вигляд диференціального рівняння з початковими умовами:
yР = f(t,y), y = y0 при t = t0. t Є [a, b].
Для її наближеного розв’язання застосовуються так звані однокрокові методи: Ейлера, Ейлера покращений, Ейлера-Коші та Рунге-Кута. Їх суть полягає в тому, що діапазон інтегрування [a, b] ділять на n елементарних відрізків довжиною h. Значення шуканої функції в точці t0=a відомо з початкових умов, а її обчислення в першій і наступних точках аж до точки tn=b виконують за поданими нижче формулами. При цьому h=(b-a)/n, t0 = a, tn = b, ti+1 = ti+h, yi=f(ti), i=0,1,2, ... n.
5.3. Виконання індивідуального завдання.
5.3.1. Розв’язання методами Ейлера та Рунге-Кутта.
5.3.2. Розв’язання засобами MathCad.
5.3.3. Розв’язання системи диференційних рівнянь засобами MathCad.
6. Інтерполяція та апроксимація табличних функцій методом найменших квадратів з використанням пакету MathCad.
6.1. Постановка задачі.
6.2. Теоретичні відомості з інтерполяції та апроксимації функцій, заданих таблично.
У процесі пошуку закономірностей протікання явищ та процесів в інженерній практиці виникає задача відшукання за даними спостережень аналітичних залежностей одного параметра від іншого. Загальна постановка цієї задачі може бути наступна: - відомо, що між х та y існує функціональна залежність. В результаті експерименту отримана таблиця значень y0(x0), y1(x1), y2(x2) ,…, yn(xn). Необхідно знайти функцію, яка б наближено описувала зв’язок між х та y. В багатьох випадках в якості емпіричної залежності вибирається многочлен вигляду y=a0+a1x+…+amxm. Однак, незалежно від виду апроксимуючої функції, виникає задача визначення таких її параметрів, які б найкращим чином узгоджувались з експериментальними даними. Одним з таких ефективних методів являється метод найменших квадратів. Суть методу в тому, що є залежність f(x,a0,a1…am), близька до заданої сукупності значень хi,yi в сенсі мінімуму квадратичного відхилення:
R=(f(xi,a0,a1,…am)-yi)2, i=1,2,..n (1.1)
а відхилення апрoксимуючої функції від експериментальних значень
i= f(xi,a0,a1,…am)-yi,,i=1,2,..n (1.2)
Тоді задача полягає у виборі сукупності параметрів a0,a1,…am, при яких значення критерія (4.1) являється мінімальним. Необхідною умовою мінімуму критерія (4.1) являється рівенство нулю всіх частинних похідних функції R по параметрах a0,a1,…am, тобто,
(∂R/∂a0)=0, (∂R/∂a1)=0,…, (∂R/∂am)=0 (1.3)
Розв’язуючи систему рівнянь (1.3) знаходимо значення a0,a1,…am які будуть коефіцієнтами шуканої залежності.
Лінійне наближення має вигляд y=a0+a1x. коефіцієнти якого знаходять зі слідуючої системи рівнянь:
(n+1)a0+ a1 xi= yi
a0 xi + a1 x2i= xi yi
Квадратичне наближення має вигляд y=a0+a1x+a2x2. Коефіцієнти a0,a1,a2 обчислюються з системи рівнянь:
a0 (n+1) + a1 xi+ a2 x2i = yi
a0 xi + a1 x2i+ a2 x3i = xi yi
a0 x2i+ a1 x3i+ a2 x4i = x2i yi
Задача апроксимації – перехід від таблично заданої функції
y0(x0),y1(x1),y2(x2) ,…, yn(xn)
до стандартного математичного представлення:
y=a0φ0(x)+ a1φ1(x)+…+ anφn(x),
де φі(x) - попередньо задані (базисні) функції;
аі - коефіцієнти розвинення функції у(х) по обраному базису.
В залежності від вигляду φі(x) розрізняють:
поліноміальну апроксимацію (φі(x)=хі);
гармонічну апроксимацію (φі(x)=sin(iωx+αi)).
Частіше всього вимагається мінімізація середньоквадратичної похибки апроксимації (апроксимація за методом найменших квадратів) або співпадіння вихідної та апроксимуючої функцій в точках x0,x1,…,xn (інтерполяція). Широко відоме розвинення функції в ряд Фур’є
Y(x)=A0 + B1s sinωx + B1c cosωx +…+ Bks sinkωx + Bkc coskωx +…
яка являє собою гармонічну апроксимацію за методом найменших квадратів, а представлення функції поліномом Лагранжа
являється поліноміальною інтерполяцією.