- •Розділ 1. Предмет, особливості та сфери застосування математичного програмування в економіці. Класифікація задач
- •1.1. Предмет курсу «математичне програмування»
- •1.2. Найпростіша класифікація задач математичного програмування
- •1.3. Програма дисципліни «Оптимізаційні методи та моделі»
- •Тема 9. Задачі динамічного програмування
- •Тема 10. Моделі та методи стохастичного програмування
- •Тема 11. Елементи теорії ігор
- •Розділ 2. Загальна задача лінійного програмування та методи її розв’язування
- •2.1. Загальна математична модель лінійного програмування
- •2.2. Форми запису задач лп
- •2.3. Геометрична інтерпретація злп
- •2.4. Основні аналітичні властивості розв’язків задач лінійного програмування
- •2.5. Графічний метод розв’язування задач лінійного програмування
- •2.5.1. Основи графічного методу
- •2.5.2. Навчальні завдання. Розв’язування задач графічним методом
- •2.6. Симплексний метод розв’язування задач лп
- •2.6.1. Теоретичні відомості
- •2.6.2. Навчальні завдання розв’язування задач симплекс-методом
- •Розділ 3. Двоїстість у лінійному програмуванні
- •3.1. Поняття двоїстості. Правила побудови двоїстих задач
- •3.2. Теорема двоїстості
- •3.3. Навчальні завдання
- •Розділ 4. Економічна інтерпретація двоїстих задач. Аналіз оптимальних планів лінійних економіко-математичних моделей
- •4.1. Економічна інтерпретація двоїстої задачі
- •4.2. Навчальні завдання
- •Розділ 5. Транспортна задача
- •5.1. Постановка транспортної задачі
- •5.2. Метод потенціалів
- •5.3. Навчальні завдання
- •Розділ 6. Вибрані розділи математичного програмування
- •6.1. Цілочислове програмування
- •6.1.1. Постановка задачі
- •6.1.2. Метод Гоморі
- •6.1.3. Метод «віток і меж»
- •6.1.4. Приклади цілочислових економічних задач
- •6.2. Дробово-лінійне програмування
- •6.2.1. Постановка задачі та алгоритм розв’язування
- •6.2.2. Приклади дробово-лінійних задач
- •6.3. Нелінійне програмування
- •6.3.1. Постановка задачі
- •6.3.2. Труднощі розв’язування задач нелінійного програмування
- •6.3.3. Метод множників Лагранжа
- •6.3.4. Приклади задач нелінійного програмування
- •6.4. Динамічне програмування
- •6.4.1. Сутність динамічного програмування. Принципи оптимальності
- •6.4.2.Методикарозв’язування динамічних задач
- •6.4.3. Приклади розв’язування динамічних задач
- •6.5 Теорія ігор
- •6.5.1. Основні поняття теорії ігор
- •6.5.2. Зведення матричної гри до задачі лінійного програмування
- •6.6. Стохастичне програмування
- •6.6.1 Постановка задач і методи розв’язування
- •6.6.2. Приклади стохастичних економічних задач
Розділ 6. Вибрані розділи математичного програмування
У попередніх розділах було розглянуто задачі лінійного програмування та методи їх розв’язування. Ці методи найбільш розроблені, легко реалізуються на ПЕОМ, а тому набули широкого застосування в багатьох галузях науки, техніки та економіки. Проте лінійні моделі відбивають лише певну й вельми обмежену сукупність властивостей навколишнього світу. Адже, скажімо, соціально-економічні процеси не є лінійними. Галузі, об’єднання та окремі підприємства народного господарства функціонують і розвиваються за умов невизначеності, а тому описуються нелінійними, стохастичними, динамічними процесами. Отже, для управління народним господарством, його галузями й тими чи іншими об’єктами господарювання потрібні нелінійні економіко-математичні моделі та методи. А вони ще недостатньо розроблені і до того ж не так легко, як лінійні, піддаються реалізації на ПЕОМ. Щоправда, нелінійні, стохастичні задачі нерідко вдається звести до лінійних, а далі — скористатися відповідними добре розробленими методами розв’язування. Однак такий підхід щоразу потребує певних застережень.
Розглянемо приклад. Урожайність сільськогосподарських культур залежить, як відомо, від багатьох чинників, серед яких насамперед слід назвати заходи з підживлення ґрунту. Природна родючість земельних угідь забезпечує лише певний рівень продуктивності рослин. Щоб підвищити їх урожайність, використовують органічні та мінеральні добрива. Залежність урожайності цукрових буряків від кількості внесених мінеральних добрив ілюструє рис. 6.1.
Із рис. 6.1 бачимо, що за рахунок природної родючості ґрунту та внесення органічних добрив досягається врожайність цукрових буряків . Зі зростанням кількості внесених мінеральних добрив урожайність цієї культури підвищується. Наприклад, якщо ця кількість збільшується віддо(реально це 100—280 кг діючої речовини на гектар), то врожайність цукрових буряків зростає майже лінійно, приблизно від 150 до 450 ц/га. Проте з подальшим збільшенням кількості внесених мінеральних добрив () урожайність знижується (), оскільки рослини не забезпечуються іншими необхідними елементами, наприклад водою.
О
Рис. 6.1
Зауважимо, що розвиток комп’ютерної техніки і методів математичного моделювання створює передумови для використання нелінійних методів, а це може значною мірою підвищити якість розроблюваних планів, надійність та ефективність прийнятих рішень. У цьому розділі стисло розглянемо деякі методи математичного програмування, що вкрай потрібні економістові XXI століття. Докладніше ці питання розглядаються в [5; 10; 15; 16; 26; 34; 35].
Зауважимо, що фахівець, який розробив економіко-математичну модель, але через її складність не реалізував на ПЕОМ, істотно поповнив свої знання про досліджуваний процес, а отже, і прийняті ним (свідомо чи несвідомо) рішення є більш обґрунтованими й економічно ефективними, ніж ті, які могли б постати без вивчення зазначеної моделі.