Algebra_i_geometriya / І модуль / NE_1.1 / Практичні заняття до НЕ 1

Приклади розв’язування задач

Приклад 1. Обчислити .

Розв’язання

Оскільки , то

Отже, .

Приклад 2. Обчислити вираз .

Розв’язання

Спершу спростимо чисельник:

.

Приклад 3. Розв’язати рівняння, вважаючи та дійсними числами

.

Розв’язання

Перетворимо ліву частину рівняння, розкривши дужки та звівши дійсні і уявні доданки:

Отримали зліва і справа комплексні числа, які рівні тоді і тільки тоді, коли рівні одночасно їх дійсні і уявні частини. А тому рівняння (*) рівносильне системі рівнянь:

Розв’яжемо дану систему, і знайдемо та . Помноживши 1-ше рівняння системи на , а 2-ге на і додавши їх, отримаємо:

Звідки .

Виразимо з другого рівняння :

Відповідь: .

Приклад 4. Розв’язати систему рівнянь, вважаючи та комплексними числами

Розв’язання

Оскільки маємо систему із двох лінійних рівнянь з двома змінними, то спробуємо їх розв’язати за допомогою формул Крамера. Обчислимо спочатку головний визначник системи:

.

Оскільки , то .

.

Підставимо і у формули Крамера і знайдемо та .

.

.

Відповідь: , .

Приклад 5. Обчислити .

Розв’язання

Оскільки корінь з комплексного числа, взагалі кажучи, комплексне число (і не одне), то подамо всі значення кореня у вигляді , де .

Тоді .

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату і знайдемо та .

Зліва і справа в останній рівності отримали комплексні числа, які рівні тоді, коли рівні їх дійсні і уявні частини. Тому рівняння (**) рівносильне системі

З другого рівняння маємо, що:

.

Підставимо в перше рівняння і отримаємо:

.

Оскільки , то або . Тоді або .

Тобто отримали два значення : або .

Приклад 6. Розв’язати рівняння, вважаючи комплексним числом .

Розв’язання. Маємо квадратне рівняння відносно з комплексними коефіцієнтами. Знайдемо дискримінант рівняння:

,

тоді .

Знайдемо значення кореня з комплексного числа , враховуючи міркування з прикладу 5.

Розглянемо друге рівняння системи окремо:

Отримали біквадратне рівняння відносно .

, тоді

Тобто або ,

тоді або .

Отже, , .

Повернемось до коренів вихідного рівняння і матимемо:

та

.

Відповідь: дане рівняння має два корені та .

Приклад 7. Знайти число, спряжене до даного .

Розв’язання

, тоді

Оскільки спряжене до частки чисел є часткою спряжених чисел, то

.

Отже, .

Приклад 8. Зобразити в тригонометричній формі число

Розв’язання

, тоді

Приклад 9. Обчислити

Розв’язання. Подамо чисельник та знаменник дробу у тригонометричній формі:

,

.

Тоді

Приклад 10. Обчислити .

Розв’язання. Подамо підкореневий вираз, який є комплексним числом, взагалі кажучи, у тригонометричній формі:

;

Очевидно, що

Приклад 11. Виразити через .

Розв’язання. . Щоб виразити та через та , використаємо формулу мавра та біном Ньютона:

Приклад 12. Виписати всі корені 6-го степеня із одиниці. Вказати первісні.

Розв’язання.

, тоді

Первісні: ; .

Знайти порядки і .

–порядок

–порядок 6.

–порядок 3.

7