5. У дійсному лінійному просторі знайти матрицю переходу від бази до а).

Розв’язок

Позначимо

Звідси — матриця переходу від базису до базису .

б)

Розв’язок

Позначимо

Звідси

—шукана матриця переходу від базису до базису

6. Переконатись, що многочлени утворюють базис у лінійному просторі многочленів степеня не вище 4. Знайти координати многочленау цьому базисі.

Розв’язок

Позначимо:

Елементи утворюють базис тоді, і тільки тоді, коли: а) вони лінійно незалежні; б) дописування до нихелемента цього ж простору перетворює систему на лінійно залежну.

Перевіримо тому умови а) і б):

а)

(1) — лінійно незалежні.

Отже дослідимо, якими можуть бути коефіцієнти у рівності (1):

(Скористаємося тим, що кожен многочлен, в тому числі й нульовий можна єдиним способом розкласти за степенями ).

Отже, — лінійно незалежна система.

б) —чи максимальна?

Оскільки розмірність простору многочленів степеня рівна 5, то довільна система з 6 та більше многочленів завжди є лінійно залежною, а тому для довільного многочленастепеня не вище 4 маємо, що,— лінійно залежні— базис простору многочленів степеня не вище 4.

Для того, щоб знайти координати многочлена у заданому базисі, розкладемо його в ряд Тейлора за степенями:

	-2	0	12	-3	2
2	-2	-4	4	5	12
2	-2	-8	-12	-19
2	-2	-12	-36
2	-2	-16
2	-2

Отже,

—координати в базисі.

7. Довести, що кожна з систем векторів

та є базисом лінійного простору. Знайти зв’язок між координатами одного і того ж вектора відносно цих базисів.

Розв’язок

Оскільки і в кожній системі векторів є по 2 вектори, то вони будуть базисами тоді, і тільки тоді, коли є лінійно незалежними.

Вектори, задані своїми координатами, лінійно незалежні тоді, і тільки тоді, коли ранг системи векторів = кількості цих векторів. Отже,

та — базис у

—теж базис у .

Нехай — довільний вектор простору.

Нехай — координати векторав базисі. Аналогічно,

—координати вектора в базисі. Тоді, де— матриця переходу віддо.

Позначимо — базис, у якому задано координати векторівта. Тоді

та

Звідси маємо:

Отже, та

.

.

Звідси маємо:

— зв’язок між координатами одного вектора в різних базах.

8. Знайти розмірності суми і перетину лінійних підпросторів натягнутих на систему векторів:

Розв’язок

Нехай

Тоді .

Отже база

Отже, враховуючи формулу

. База :.

Враховуючи формулу

маємо, що

Відповідь:

Лінійні оператори

9. У дійсному лінійному просторі многочленів степеня не вище 4 задано операторДовести, що цей оператор лінійний і знайти його матрицю в базі

Розв’язок

Оператор буде лінійними тоді, і тільки тоді, коли

Перевіримо ці умови для заданого оператора , де

а) Нехай .Тоді

б)

Отже, умови а) та б) виконуються — лінійний оператор.

Матриця лінійного оператора в базіскладається з коефіцієнтів розкладу образів базисних векторів по заданому базису. Тому маємо:

Із коефіцієнтів підкреслених рівностей виписуємо шукану матрицю оператора :

10. Довести, що є лінійним оператор простору векторів з дійсними координатами(у якому визначене звичайне скалярне множення векторів), котрий діє з правиломде. Знайти матрицю цього оператора в базисі.

Розв’язок

а)

б)

Отже, — лінійний оператор.

Знайдемо матрицю цього оператора в базисі

Отже, — матриця лінійного операторав базі.

11. Задано лінійний простір і оператор. Довести, що— лінійний оператор і знайти його матрицю в базі.

Розв’язок

Перевіряємо умови лінійного оператора:

а)

— виконується!

б)

— виконується!

Умови а) і б) означення лінійного оператора виконуються, отже — лінійний оператор.

Шукаємо матрицю оператора в базі.

Знайдемо тепер коефіцієнти розкладу кожного з векторів по базису.

, де

, де

Тоді .

Отже, — матриця операторав базі. Знайдемо її елементи.

—шукана матриця лінійного оператора в базисі.

12. Знайти матрицю оператора у просторі матриць другого порядку з дійсними елементами у базисі

Розв’язок

Отже, — матриця даного операторау базисі.

13. Лінійний оператор у базізадано матрицею. Знайти матрицю цього оператора в базисі

Розв’язок

Якщо — шукана матриця операторав базисі. Тодіде,— матриця переходу від базидо бази. Знайдемо її.

, де

, де . Тоді

Отже, .

Шукаємо

Шукаємо тепер :

14. Знайти ядро та образ лінійного оператора, заданого у деякому базисі матрицею . Чому дорівнює ранг та дефект цього оператора?

Розв’язок

Ядро оператора :

(1)

Оскільки — матриця 3-го порядку, то. Нехайв тому ж базисі, що й задано матрицею, має координати

Тоді із (1) маємо:

——ядро.

, бо база в містить лише один елемент, наприклад.

Отже, дефект оператора .

Образ оператора :

Отже, — ранг оператора.

15. Знайти ядро і образ лінійного оператора

Розв’язок

Нехай

Отже, — містить лише нульовий векторОскількито— образом операторає весь лінійний простірю

16. Знайти власні значення та власні вектори лінійних операторів, що задаються в деякому базисі матрицею

а) .

Розв’язок

— власні значення.

Шукаємо власні вектори, що відповідають власним значенням .

Ф.С.Р.:

—власний вектор, що відповідає власному значенню .

б)

Розв’язок

Шукаємо власні вектори, які відповідають власному значенню

Загальний розв’язок:

Ф.С.Р.

—власні вектори, що відповідають власному значенню

Шукаємо власні вектори, що відповідають власні значення

Загальний розв’язок:

Ф.С.Р.

—власні вектори, що відповідають власним значенням .

в)

Розв’язок

1) Шукаємо власний вектор, що відповідає власному значенню

Загальний розв’язок:

—власний вектор, що відповідає власному значення

2)

Загальний розв’язок системи . Власний вектор— відповідний власному значенню.

3)

загальний розв’язок системи

Власне значення — йому відповідає власний вектор.

Відповідь: