- •Розв’язок деяких задач математичної фізики методом поділення змінних. Методичні вказівки до виконання типового завдання з дисципліни
- •1.Виведення рівняння теплопровідності.
- •В результаті одержимо наступне рівняння
- •2.Перетворення задачі з неоднорідними граничними умовами до задачі з однорідними граничними умовами.
- •2.Перетворення неоднорідних граничних умов, які залежать від змінної t, в однорідні.
- •3.Метод поділення змінних. (Метод Фур’є).
- •3.1.Загальні принципи метода поділення змінних.
- •3.2.Поділення змінних у задачі теплопровідності стержня з теплоізольованою бічною поверхнею.
- •3.3.Знаходження розв’язків, які задовольняють граничним умовам.
- •3.4. Пошук розв’язку, який задовольняє рівнянню, граничним та початковим умовам.
- •Якщо підставити (3.8) у (3.7), то будемо мати
- •4. Поширення тепла у стержні.
- •Процес поширення тепла у стержні описується рівнянням
- •Враховуючи, що
- •5. Виведення рівняння поперечних коливань струни. Будемо розглядати рівняння
- •6.Повздовжні коливання стержня або поперечні коливання струни.
- •7. Стаціонарний розподіл тепла у платівці. (Задача Діріхлє у прямокутнику для рівняння Лапласа).
- •Крайові задачі для рівнянь еліптичного типу.
- •9. Метод граничних елементів.
- •Враховуючи отримані формули, маємо
3.Метод поділення змінних. (Метод Фур’є).
Сутність методу – розклад шуканого розв’язку на добуток найпростіших компонент.
Метод поділення змінних вживається у таких випадках:
1.Рівняння лінійне й однорідне (не обов’язково з постійними коефіцієнтами).
2.Граничні умови задаються у вигляді:
,
де – константи (такі граничні умови називаються лінійними однорідними ).
3.1.Загальні принципи метода поділення змінних.
Для найпростішого рівняння з частинними похідними поділення змінних – це пошук розв’язку у вигляді:
де X(x) – функція, залежна від змінної х;
T(t) – функція, залежна від змінної t.
Необхідно знайти нескінченне число таких розв’язків рівняння з частинними похідними, які задовольняють граничним умовам. Ці найпростіші функції називаються фундаментальними розв’язками.
Розв’язок задачі U(x,t)знаходиться у вигляді лінійної комбінації фундаментальних розв’язківтобто вислідна суми
яка задовольняє початковим умовам. І оскільки ця сума задовольняє рівнянню і граничним умовам, вона є розв’язком вихідної задачі.
3.2.Поділення змінних у задачі теплопровідності стержня з теплоізольованою бічною поверхнею.
Знайти функцію U(x,t), яка є розв’язком задачі
(3.1)
(3.2)
(3.3)
де – постійна величина.
Будемо шукати розв’язок у вигляді:
(3.4)
Підставимо (3.4) в рівняння (3.1), одержимо:
Поділимо обидві частини останнього рівняння на
У цьому виразі змінні поділені, тобто ліва частина рівняння залежить від t, а права – тільки від x. І оскільки x і t незалежні одне від одного, то кожна частина цього рівняння повинна бути константою. Позначимо її через k, тоді
або
Тепер можна розв’язати кожне з цих звичайних диференціальних рівнянь. Добуток відповідних розв’язків буде задовольняти вихідному рівнянню з частинними похідними.
Слід звернути увагу на ту обставину, що константа k повинна бути від’ємною (у протилежному випадку рівняння з граничними умовамиX(0)=0 і X(L)=0 має тільки розв’язок X(x)=0, тобто функція T(t) повинна наближатися до нуля при t).
Виходячи з цього, позначимо, дене може дорівнювати нулю, оскільки тоді розв’язок буде тривіальним. Отже вираз “-” буде завжди від’ємним. З урахуванням нового позначення для константи маємо два звичайних диференціальних рівняння першого і другого порядків:
Ці рівняння є однорідними рівняннями стандартного типу з постійними коефіцієнтами. Їх загальні розв’язкі мають вигляд
де – довільні сталі.
Підставляючи в добуток X(x)T(t) одержані вирази і об’єднуючи сталі, одержимо функцію виду
, (3.5)
яка задовольняє рівнянню у частинних похідних. Треба підкреслити, що знайшли нескінченний набір функцій, які задовольняють вихідному рівнянню з частинними похідними.