Сфера Блоха

Стани, в яких може знаходитись окремий кубіт, можна наочно демонструвати за допомоги сфери Блоха. Класичний біт на цій сфері може знаходитися лише на «північному полюсі» (стан ) або на «південному полюсі» (стан ). Решта поверхні сфери Блоха недоступна для класичного біта, але чистий стан кубіта може займати будь-яку точку сфери. Наприклад, чистий стан кубіта  знаходитиметься на екваторі сфери, осі OY.

Рис.1. Ілюстрація кубіта за допомоги сфери Блоха.

Поверхня сфери — це двовимірний простір, що представляє простір чистих станів кубіта. Цей простір має дві локальні ступені вільності. Інтуїтивно здавалося б, що простір повинен був мати чотири ступені вільності, оскільки  і є комплексними й мають по дві ступені вільності. Однак, одна ступінь вільності зникає завдяки обмеженню . Іншу ступінь вільності, фазу кубіта, не можна виміряти, тож без обмеження загальності ми можемо обрати коефіцієнт  дійсним, залишаючи тим самим дві ступені вільності.

Квантові гейти є аналогами булевських операцій AND, OR, NOT тощо. Квантовий гейт що діє на n кубіт це унітарний оператор.

Приклад: гейт NOT .

2. Квантова телепортація.

Квантова телепортація — передача квантового стану на відстань за допомогою роз'єднаних у просторі зчеплених пар та класичного каналу зв'язку. При квантовій телепортації вихідний квантовий стан руйнується у місці проведення вимірювання та реалізується у місці прийому, що відповідає теоремі про заборону клонування. Квантова телепортація не передає енергію чи інформацію з надсвітловою швидкістю, оскільки обов'язковим етапом квантової телепортації є передача інформації про вимірювання класичним каналом.

Феноменологічне описання квантової телепортації

Нехай є певний кубіт 1, повний стан якого описується як . Цей стан треба передати від відправника до отримувача. При цьому відправник нічого не знає про коефіцієнти α, β, оскільки може визначити їх тільки проведенням вимірювання над кубітом 1, що призведе до колапсу його стану. Тому відправник не може просто передати значення коефіцієнтів α, β отримувачу. Але, якщо у відправника та отримувача є відповідно дві частинки 2, 3, які перебувають між собою у зчепленому стані, то відправник може здійснити квантову телепортацію повного стану кубіту 1. При цьому він повинен здійснити взаємодію кубіту 1 з кубітом 2 і провести вимірювання стану кубіт 1 — кубіт 2. Результатом цього є руйнування зчепленості кубітів 2,3 і колапс станів цих кубітів у один зі станів , кожен з яких є унітарним відображенням стану . При цьому відправнику відомі кінцеві стани кубітів, а отримувачу — ні. Для повідомлення отримувача про стан його кубіту відправник повинен надіслати відповідну інформацію через класичний канал. Після цього отримувач може здійснити відповідну стану його кубіту операцію, у результаті чого він отримає шуканий стан.

Хід квантової телепортації

Нехай у відправника є частинка С із двома квантовими станами — кубіт, повний квантовий стан якої він хоче відправити отримувачу. Стан цього кубіту можна записати наступним чином:

.

Для реалізації телепортації потрібно, щоб у відправника та отримувача були дві зчеплені частинки A та B у стані, який може описуватись одним із беллівських:

.

Таким чином, початковий стан системи з частинок A, B, C визначається наступним чином:

.

Після цього відправник проводить пропускання кубіту через гейт Адамара. У результаті стан трьох кубітів буде мати вигляд:

.

Після перегрупування членів можна отримати:

що показує суперпозицію можливих станів системи.

Якщо відправник проведе локальне вимірювання у беллівському базисі стану своєї пари кубітів, то стан із системи кубітів колапсує в один із чотирьох беллівських станів:

,

причому відправнику відомі стани всіх трьох кубітів, а отримувачу ні. Якщо відправник передасть інформацію отримувачу про результат вимірювання своєї пари кубітів, то отримувач зможе здійснити операцію (що в даному випадку описується матрицями Паулі) над своїм кубітом, що призведе до отримання шуканого стану. Поданий процес описаний у таблиці 1:

Передача інформації під час процесу квантової телепортації

Може скластися точка зору, що телепортація дозволяє передавати квантовий стан із надсвітовою швидкістю. Однак варто зауважити, що інформація передається лише класичним каналом зв'язку, а телепортація не передає інформацію. Це можна пояснити наступним чином.

Вимірювання стану пари кубітів відправником призводить до колапсування стану системи із трьох кубітів в один із чотирьох рівноймовірних станів. Таким чином, оператор густоти станів такої системи матиме вигляд:

.

Зведена матриця густини кубіта, що знаходиться у отримувача, описується, таким чином, так:

.

Це означає, що стан кубіту отримувача після проведення вимірювання відправником, але до передачі інформації по класичному каналу, визначається як . Цей стан не залежить від стану кубіту , тобто будь-яке вимірювання, що здійснить отримувач над своїм кубітом, не буде містити інформацію про . Таким чином, можна стверджувати, що, хоча колапс стану зчепленої пари для частинок пари реалізується однаково, але він показує лише ймовірність отримати певний стан при проведенні вимірювання, а отже, і не несе ніякої інформації.

3. Квантова криптографія.

Квантова криптографія — наука, що вивчає методи захисту систем зв'язку і базується на постулатах квантової механіки, об'єкти якої (фотони, хоча теоретично ними можуть бути і фонони, і гравітони) забезпечують процеси передачі інформації.

Найпростіший алгоритм генерації секретного ключа (BB84)

Схема ВВ84 працює таким чином. Спочатку відправник ( Аліса ) виробляє генерацію фотонів з випадковою поляризацією, вибраної з 0 , 45 , 90 і 135 °. Одержувач ( Боб ) приймає ці фотони, потім для кожного вибирає випадковим чином спосіб вимірювання поляризації, діагональний або перпендикулярний. Потім по відкритому каналу повідомляє про те, який спосіб він вибрав для кожного фотона, не розкриваючи при цьому самих результатів вимірювання. Після цього Аліса по тому ж відкритому каналу повідомляє, чи правильний був обраний вид вимірювань для кожного фотона. Далі Аліса і Боб відкидають ті випадки, коли вимірювання Боба були невірні. Якщо не було перехоплення квантового каналу, то секретною інформацією або ключем і будуть решта види поляризації. На виході буде послідовність бітів: фотони з горизонтальною або 45 ° -й поляризацією приймаються за двійковий « 0 », а з вертикальною або 135 ° -й поляризацією - за двійкову «1». Цей етап роботи квантово - криптографічного системи називається первинною квантової передачею .

Аліса посилає фотони, що мають одну з чотирьох можливих поляризацій , яку вона вибирає випадковим чином.

Для кожного фотона Боб вибирає випадковим чином тип виміру: він змінює чи прямолінійну поляризацію ( + ), або діагональну (х).

Боб записує результати зміни і зберігає в таємниці.

Боб відкрито оголошує, якого типу вимірювання він проводив, а Аліса повідомляє йому, які вимірювання були правильними .

Аліса і Боб зберігають всі дані, отримані в тих випадках, коли Боб застосовував правильний вимір. Ці дані потім переводяться в біти (0 і 1 ), послідовність яких і є результатом первинної квантової передачі .

V. Формування вмінь та навичок

Так як, ви мене уважно слухали, тепер я запитаю вас, що у вас відклалося в пам’яті. Закриваємо зошити і дивимось на мене. Буде , так зване бліц – опитування. Хто перший піднімить руку на відповідь на питання буде отримувати в мене плюси до майбутньго колоквіума з цієї теми. Отже, питання:

1. Що ми розуміємо під кубітом?

2. Сформулюйте суть найпростішого алгоритму генерації секретного ключа (BB84)

3. Що таке квантова телепортація?

VI. Підбиття підсумків заняття

1) Оцінювання студентів

2) Аналіз досягнення мети пари

VIІ. Домашнє завдання

1. Підготовитись до тесту «відкритої форми» з лекційного матеріалу.

Дата проведення: 22.04.14 р.

Групи: І – Б і І – А - курс