5. Тривимірний векторний простір і його підпростори

Побудована нами не порожня множина вільних векторів, у якій введені операції додавання векторів, множення вектора на число, що задовольняють зазначені властивості, а саме:

,:+=+;

,,:(+) +=+ (+);

,:+=+=;

(-):+ (-) =;

: 1*=;

α, βR,: α(β) = (αβ);

α, βR,: (α + β)= α+ β;

α R,,: α(+) = α+ α– називаєтьсявекторним простором. Позначимо його .

У векторних просторах розглядається поняття базису векторного простору і розмірності. Введемо означення цих понять.

Означення: базисом векторного простору називається система векторів, яка задана в певному порядку і задовольняє умови:

1)                ця система векторів лінійно незалежна;

2)                будь-який інший вектор із даного векторного простору є лінійною комбінацією даної системи векторів.

Інакше кажучи, базисом векторного простору називається максимальна система лінійно незалежних векторів даного векторного простору.

Означення: розмірністю векторного простору називається число векторів базису, тобто максимальна кількість лінійно незалежних векторів.

З попередніх теорем випливає, що базисом побудованого нами векторного простору є будь-яка система трьох не компланарних векторів, взятих у певному порядку. Справді, система будь-яких трьох некомланарних векторів лінійно незалежна, а за теоремою про розклад вектора за трьома не компланарними векторами будь-який вектор із даного векторного простору є лінійною комбінацією даної системи векторів.

Тому розмірність даного простору дорівнює трьом. У зв’язку з цим побудований нами векторний простір називається тривимірним векторним простором.

Означення: нехай L – непорожня множина векторів із векторного простору. Множина L називається векторним підпростором простору, якщо виконуються такі умови:

1)                якщо L,L, то+L;

2)                якщо L, то і αLαR.

Тобто підмножина L простору буде векторним підпростором простору, якщо вона сама є векторним простором.

6. Скалярний добуток векторів

 

Нехай ,− ненульові вектори. Відкладемо від деякої точкиO вектори =,=.Кутом між векторами іназивається кут між променямиOA і OB (мал. 18). Позначають: (,) = φ. Для будь-яких векторівімаємо 0 ≤ (,) ≤ π.

Означення: скалярним добутком двох векторів називається число, яке дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними: =cos(,).

Теорема: скалярний добуток векторів(,,),(,,), заданих в ортонормованому базисі, обчислюються за формулою:

=++. /6/

 

Доведення.Якщо один із векторів або обидва нульові, то формула очевидна. Припустимо, що,і розглянемо два випадки.

1. Вектори іне колінеарні. Відкладемо вектори=,=(мал. 19). Нехай (,) = φ.

З OAB за теоремою косинусів – 2OAOBcosφ, або ,

звідки

=. Отже,=++.

2. Вектори іколінеарні. Тоді= λ,= λ,= λ,= λ;

= λ=cos(λ,) = λ= λ() = λ+ λ+ λ=++

Теорему доведено.

З теореми і означення випливають такі властивості скалярного добутку векторів:

1. = 0 тоді і тільки тоді, коли, якщо,.

2. ===.

3. =.

4. (α )= α(),αR;

5. (+)=+.

Формула, аналогічна до формули /6/, має місце і в просторі . Справді, нехай в ортонормованому базисі просторузадано вектори(,),(,). Тоді, користуючись властивостями 1–5, дістанемо:= (+)(+)=+ (+)+=+. Отже,=+/7/

З означення скалярного добутку і /6/, /7/ випливають такі формули для обчислення косинуса кута між векторами:

– у просторі :

cos(,) =;

– в просторі :

cos(,) =.

Векторна алгебра може ефективно використовуватися для розв’язування задач елементарної геометрії.