2. Колінеарність векторів

 

Означення. Два ненульових вектори  і  називається колінеарними, якщо відповідні їм напрямлені відрізки паралельні або лежать на одній прямій.

Позначення: ||(мал. 13).

Очевидно, колінеарні вектори або однаково напрямлені (мал. 13а), або протилежно напрямлені (мал. 12b). Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору. Тому, якщо відомо, що деякі два вектори неколінеарні, то жоден з них не є нульовим вектором.

Теорема. (перша ознака колінеарності двох векторів). Два ненульових вектори  і  колінеарні тоді і тільки тоді, коли існує деяке число α таке, що =α. /1/

Доведення.

1. Необхідність.Нехай||. Тоді або, або. Якщо, то=, оскільки ці вектори однаково напрямлені, то вони мають однакові модулі:==. Позначивши α =, дістанемо=α. Якщо, то аналогічно доводиться, що= -. Нехай α = -, тоді також= α.

2. Достатність.Нехай виконується рівність /1/, тодііабо однаково, або протилежно напрямлені, а отже, вони колінеарні. Теорему доведено.

Зауваження 1.Якщо= 0,0, то теорема також справджується. У цьому випадку α =0.

Зауваження 2.Оскільки для колінеарних векторівізавжди існує тільки одне число α таке, що= α, то звідси формально можна написати: α =, тобто можна розглядати відношення двох колінеарних векторів.

Відношення :  двох колінеарних векторів розуміють як число, на яке треба помножити вектор , щоб дістати вектор. Отже, відношенням двох колінеарних векторів є число, яке дорівнює відношенню їх модулів, взяте зі знаком «плюс», якщо вектори  і  однаково напрямлені, і зі знаком «мінус», якщо вектори протилежно напрямлені.

3. Компланарність векторів

 

Означення. Три ненульових вектори називаються компланарними

якщо відповідні їм напрямлені відрізки паралельні одній площині або лежать в одній площині.

Очевидно, що коли компланарні вектори ,,відкласти від довільної точкиO (=,=,=), то точкиО, А, В, С лежатимуть в одній площині (мал. 14).

Отже, якщо вектори компланарні, то існують такі їх представники, які лежать в одній площині.

Очевидно, що якщо серед трьох векторів є два колінеарних, то ці вектори компанарні. І навпаки, якщо три вектори некомпланарні, то серед них немає колінеарних.

Теорема 1. (про розклад вектора за двома не колінеарними векторами). Якщо вектори ,, компланарні, а вектори , неколінеарні, то існують єдині числа α, β такі, що: = α+ β. /2/

Інакше кажучи, вектор можна розкласти за векторамиіі до того ж єдиним способом.

Доведення. Доведемо спочатку існування чисел α і β, що задовольняють рівність /2/. Відкладемо від деякої точки O вектори =,=,=. Оскільки ці вектори компланарні, то точкиО, А, В, С лежать в одній площині. Вектори інеколінеарні, томуO, A, B не лежать на одній прямій.

Можливі два випадки:

1.                 Точка С належить прямій ОВ (мал. 15a). Тоді вектори іколінеарні і, отже, за попередньою теоремою,= β, де β – деяке число. Отже,=0*+ β, тобто має місце розклад /2/.

2.                 С  (ОВ). Проведемо ||OB (мал. 15b). Тоді за правилом трикутника =+. Але ця рівність можлива тільки тоді, коли α =, β =. Дійсно, якби, наприклад, α, то було б,||, що суперечить умові теореми. Отже, припущення неправильне. Тому існує єдиний розклад вектораза векторамиі. Теорему доведено.

Теорема 2. (про розклад вектора за трьома некомпланарними векторами). Якщо вектори,,некомпланарні, то для будь-якого вектора, існують і притому єдині числа α, β, γ такі, що= α+β+γ.

Лінійна залежність векторів

 

Означення. Система векторів називаєтьсялінійно залежною, якщо існують такі числа ,,…, серед яких хоча б одне відмінне від нуля, що++ … += 0. / 4/

Якщо ж рівність /4/ справджується тільки при ==…== 0, то дана система векторів називаєтьсялінійно незалежною.

Сума ++ … +називаєтьсялінійною комбінацією векторів .

Розглянемо деякі властивості лінійної залежності векторів, які будуть потрібні надалі.

Властивість 1.Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли хоча б один з векторів є лінійною комбінацією інших векторів цієї системи.

Доведення.

1. Необхідність.Нехай система векторівлінійно залежна. Тоді існують такі числа,,…,, що++ … += 0 /5/

При цьому принаймні одне з чисел ,,…,не дорівнює нулю. Нехай, наприклад,0. Тоді з рівності /5/ дістанемо:

= –––––.

Отже, вектор є лінійною комбінацією векторів,,…,,…,.

3.                     Достатність. Нехай у даній системі векторів вектор є лінійною комбінацією інших векторів:

=++ … +++ … +.

Цю рівність можна записати так:

++ … ++ (-1)++ … += 0.

У цій рівності коефіцієнт біля відмінний від нуля, тому дана система векторів лінійно залежна.

Властивість 2. Якщо частина даної системи векторів лінійно залежна, то і вся система векторів лінійно залежна.

Властивість 3. Якщо система векторів лінійно незалежна, то будь-яка її частина також лінійно незалежна.

Ця властивість безпосередньо випливає із властивості 2, бо якби деяка частина даної системи векторів була лінійно залежною, то і вся система була б лінійно залежною.

Властивість 4.Система лінійно незалежних векторів не містить нульового вектора.

Якщо в деякій системі векторів є нульовий вектор: ,, то

виконується рівність 1*+ 0*+… + 0*=0. 10, тому така система є лінійно залежною, а, отже, система лінійно незалежних векторів не може містити нульового вектора.

Для системи двох і трьох векторів поняття лінійної залежності тісно пов'язане з колінеарністю і компланарністю векторів. Справедливі такі теореми.

Теорема 1. Два вектори  і лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.

Доведення.

1. Необхідність. Нехай система векторів , лінійно залежна. Тоді за властивістю 1 один із векторів лінійно виражається через другий: = α, звідки випливає, що вектори  і  колінеарні.

2. Достатність. Нехай вектори  і колінеарні. Тоді існує таке число α, що = α. Із властивості 1 випливає, що вектори  і  лінійно залежні. Теорему доведено.

Теорема 2. Система трьох векторів,,лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли ці вектори компланарні.

Доведення.

1. Необхідність. Нехай система векторів ,,лінійно залежна. Тоді за властивістю 1 один із векторів є лінійною комбінацією інших векторів. Нехай, наприклад,= α+β. Із означення суми векторів випливає, що вектори , α, βкомпланарні, а тоді і вектори,,  будуть компланарними, бо || α,|| β.

2. Достатність.Нехай вектори,,компланарні. Якщо||, то за попередньою теоремою вектори,лінійно залежні, а за властивістю 2 лінійно залежними будуть і вектори,,. Якщо жне ||, то за теоремою про розклад вектора за двома не колінеарними векторами= α+β. То за властивістю 1 система векторів,,лінійно залежна. Теорему доведено