3.Примеры численного моделирования

Внастоящей главе рассмотрим вопросы численного моделирования уравнения переноса-дифузии на примере расчетов, выполненных для оценки загрязнения приземного слоя атмосферы промышленными выбросами. Последовательность и логика изложения материала соответствуют реальной практике выполнения хоздоговорных работ и оформления их результатов.

Работы обычно начинают с наиболее общей постановки задачи, затем находят условия, позволяющие получить ответ требуемой или заданной точности и упрощают постановку задачи.

Делается это так. Вначале формулируют наиболее полную и общую постановку задачи к ней составляют перечень условий и требований, необходимых для получения требуемого результата. Затем, исходя из имеющихся интеллектуальных, трудовых, информационных, вычислительных, финансовых и временных ресурсов, с учетом ограничений на все виды ресурсов ищут постановку задачи, позволяющую найти компромисс между желаемым результатом и имеющимися возможностями и ресурсами.

На предлагаемую ниже численную реализацию модели переносадиффузии примеси наложены следующие ограничения. Программная реализация модели предназначена для природоохранных служб заводов и должна работать на машинах класса РС АТ 486. Отсюда следует, что в модель предназначается для моделирования приземного слоя атмосферы в окрестности (ограниченной радиусом 10-20 км) промышленных предприятий. Данных для полноценного моделирования или представления атмосферных течений, как правило, нет. Модель локальных течений построенная с учетом орографии местности требует, слишком большого числа натурных измерений (и больших финансовых затрат), а численное решение трехмерное мезометеорологических задач слишком больших вычисли-

63

тельных ресурсов и не может быть реализовано на ЭВМ выше упомянутого класса. Отсюда следует, что в расчетной модели модель течений может быть либо заданной, либо скорости вообще будут постоянны в расчетной области. Упрощающее предположение о постоянстве скорости в расчетной области может быть оправдано ее относительно небольшими пространственными масштабами и тем, что заводы стремятся строить на относительно ровных, хорошо «продуваемых» ветрами площадках. Химическую трансформацию примесей можно не учитывать и нестационарные процессы не рассматривать, сделать это не позволят уже упоминавшиеся вычислительные ресурсы.

3.1.Общая постановка задачи

Пусть источники выбросов находятся внутри цилиндра нижняя грань которого – подстилающая поверхность (земля).

В своей основе все математические модели процесса распространения той или иной примеси опираются на полуэмпирическое дифференциальное уравнение переноса:

Здесь:

ϕ – искомая концентрация примеси; t – время;

u, v, w – компоненты скорости ветра по осям x, y, z декартовой систе-

мы координат соответственно;

μ – коэффициент турбулентной диффузии в плоскости (x,о,y);

γ – коэффициент турбулентной диффузии в z-направлении (z – высо-

та);

64

примеси, можно получать те или иные аналитические (формульные) решения (1). Они могут использоваться для приближенных грубых оценок, для получения тестовых решений, необходимых для настройки и верификации численных моделей, либо для построения полуэмпирических моделей. В последнем случае такие решения используются для описания какой-либо из сторон или вариантов состояния моделируемой ситуации. С помощью поправочных коэффициентов и функций такие модели «подстраиваются под ответы», получаемые из натурных измерений.

В случае, когда для описания процесса распространения примеси используется двумерное уравнение

то, несмотря на его внешнее сходство с (1), под концентрацией v следует понимать интегральную по высоте концентрацию примеси. Ее раз-

чение концентрации v, полученное по двумерной методике, должно быть

"размыто" по высоте слоя H, внутри которого реально и происходит про-

цесс распространения. Проще всего это сделать, разделив v на H, тем самым предположив распределение равномерным.

Следует заметить, что уравнение (1) описывает процесс распростра-

нения субстанции v в среде, свойства (u,v,w,σ,γ,μ,f) которой не зависят от данного процесса, то есть обратное влияние примеси на характеристики среды не учитывается. Это вполне соответствует физике упомянутого про-

цесса, поскольку объемные (массовые) концентрации примеси в среднем

незначительны. В случае распространения тяжелой примеси вместо z-

компоненты скорости w в уравнении (1) должна стоять скорость (w − wg ) ,

где wg – скорость оседания частиц под действием силы тяжести.

66