Список литературы
1.Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука. Гл.ред. физ.-мат. лит., 1982. 320 с.
2.Янке Е., Эмдэ Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1968. 344 с.
3.3. Двумерная численная модель
3.3.1.Формулировка стационарной задачи
Вплоскости с декартовыми координатами (x, y) задана
прямоугольная область:
0 |
≤ x ≤ x0 |
(1) |
|
0 |
≤ y ≤ y0 |
||
|
На границе области задана концентрация примеси ϕ :
ϕ |
|
x=0 |
=ϕ1 ( y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ϕ |
|
x=x0 |
=ϕ2 ( y) |
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ϕ |
|
y=0 |
=ϕ3 (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ϕ |
|
y=y0 |
=ϕ4 (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
В случае, когда граница области расположена достаточно далеко от |
|||||||||||
источников, можно считать, что |
примесь на ней отсутствует, |
то есть |
|||||||||||||
ϕ1 =ϕ2 =ϕ3 |
=ϕ4 = 0. Именно последний случай, как правило, мы и будем |
||||||||||||||
рассматривать. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Внутри прямоугольника требуется решить дифференциальное уравне- |
|||||||||||
ние |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∂ |
|
|
∂ |
|
∂ |
|
∂ϕ |
∂ |
∂ϕ |
|
||||
|
|
|
|
(uϕ) + |
|
|
(vϕ) + |
|
k |
+ |
|
k |
+σϕ = Q(x, y) , |
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
∂x ∂x ∂y |
∂y |
|
|||||||||
73
где ϕ – концентрация примеси, (u,v) – компоненты вектора скорости в на-
правлении по x и по y; k(x, y) – коэффициент диффузии; σ(x, y)– коэффи-
циент поглощения; Q(x,y) – |
функция источника. Функции k(x, y), |
σ(x, y) > 0 , Q(x,y) и числа (u,v) |
должны быть заданы, ϕ(x, y) – искомая |
функция. |
|
3.3.2.Общая схема численного решения задач
Одним из распространенных методов решения стационарных задач является метод установления, в его рамках формулируется нестационарная задача, решения которой с течением времени приближаются к искомому решению стационарной задачи. При этом процесс установления численного решения не обязательно соответствует физическому процессу установления. Более того, стационарное решение достигается быстрее, если этого соответствия не требовать. Здесь мы не претендуем на описание нестационарных явлений, все зависимости от времени понимаются как формальный прием.
При численном решении сложных задач, описывающих совокупность нескольких физических процессов, эффективным приемом является так называемое расщепление [1].
Процессы диффузии и поглощения удобно рассматривать совместно. Обозначим:
|
|
|
∂ |
∂ϕ |
|
∂ |
∂ϕ |
|
|||||
Aϕ = − |
|
|
k |
|
|
|
− |
|
k |
|
|
+σϕ , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x ∂x ∂y |
∂y |
|
|||||||||
Bϕ = |
∂ |
(uϕ)+ |
∂ |
(vϕ) . |
|
|
|
||||||
∂x |
∂y |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда нестационарный аналог (3) запишется в виде:
∂∂ϕt + Aϕ + Bϕ = Q .
(4)
(5)
74
Идея метода расщепления по физическим процессам [1] состоит в том, что шаг по времени τ разбивается на две половины, на каждой из которых один процесс интегрируется по явной схеме, а другой – по неявной.
Обозначим индексами 0, 1, 2 значения ϕ в моменты времени t, t +τ / 2, t +τ . Тогда при заданном ϕ0 требуется найти ϕ2 из уравнений:
ϕ1 −ϕ0 |
+ Aϕ0 + Bϕ1 −Q = 0 , |
|
τ / 2 |
(6) |
|
ϕ2 −ϕ0 |
||
+ Aϕ2 + Bϕ1 −Q = 0 . |
||
τ / 2 |
|
Промежуточное значение ϕ1 определяем независимо из первого урав-
нения, после чего подставляем во второе, из которого определяем ϕ2 . И
этот шаг по времени повторяется достаточно долго, пока решение не установится. В этом случае ϕ0 =ϕ1 =ϕ2 , и из (6) получаем:
Aϕ0 + Bϕ0 −Q = 0 ,
то есть на стационарное решение расщепление, во всяком случае, не влияет.
3.3.3.Аппроксимация
Выразим ϕ0 и ϕ2 через ϕ1 из уравнений (6):
ϕ0 = 1−τ2 A 1+ τ2 B ϕ1 −τ2 Q ,
ϕ2 = 1+ τ2 A −1 1−τ2 B ϕ1 −τ2 Q
при малых τ , когда τ <<1 A , τ <<1 B , приближенно получаем
ϕ0 = 1 + τ2 A + τ2 B ϕ1 −τ2 Q +O(τ 2 ) ,
ϕ2 = 1 −τ2 A −τ2 B ϕ1 + τ2 Q +O(τ 2 ) .
Поэтому
75
ϕ0 +ϕ2 |
=ϕ1 +O(τ 2 ). |
2 |
|
Подставим это выражение в полусумму уравнений (6):
ϕ2 τ−ϕ0 + Aϕ2 +2 ϕ0 + B ϕ2 +2 ϕ0 −Q = O(τ 2 ) ,
то есть построенный итерационный процесс при τ → 0 действительно аппроксимирует нестационарное уравнение.
3.3.4.Организация итераций
Витерационном процессе ϕ1 находим из первого уравнения (6):
|
2 |
|
|
|
|
|
= P , |
|
|
|
|
|
(7) |
|||||
|
|
|
+ B |
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
где P = − |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
+Q , ϕ |
|
– уже известно из предыдущего шага. |
|||||||
|
− |
|
|
|
+ A |
ϕ |
|
|
0 |
|||||||||
τ |
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||
|
|
|
Решив (3), найдем ϕ2 из уравнения |
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
= P , |
|
|
|
|
|
(8) |
||||
|
|
|
+ A |
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
где P = − |
− |
|
|
|
+ A |
ϕ |
|
+Q . |
|
|
||||||||
τ |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
3.3.5.Выбор итерационного параметра
При постоянных коэффициентах и равномерной сетке лучшая сходимость к стационарному решению имеет место при
τ h x0 |
|
4 π |
2 |
(9) |
k 1 |
|
, |
||
|
+σ x02 (kπ 2 ) |
|
||
где h – шаг сетки, x0 – размер области.
В частности, при больших значениях коэффициента поглощения σ
76