τ h 4kπσ , в обратном случае, когда σ = 0 – τ0 4πh2xk0 .

На практике установлено, что выгоднее (численное решение быстрее сходится к точному) чередовать τ через шаг по времени. В большинстве моделируемых случаев поглощение малозначительно, поэтому для опреде-

ления τ используется приближение σ = 0 . Значения τ для нечетного и четного шагов по времени шагов

где N – число делений разностной сетки.

3.3.6.Дискретная модель для диффузии и поглощения

Горизонтальные и вертикальные линии сетки нумеруем целыми индексами n и m соответственно. Соответственно узлы сетки нумеруем парой чисел (n,m), горизонтальные отрезки – (n+1/2,m), вертикальные отрезки –

(n,m+1/2).

Определим также два типа ячеек сетки. Ячейка (n+1/2,m+1/2) ограничена ребрами сетки, а ячейка с целыми индексами (n,m), заштрихованная на рис. 9, имеет в качестве узлов центры полуцелых ячеек.

Построим оператор An, аппроксимирующий оператор A в уравнении (4), в проинтегрированном по ячейке (n,m) виде. Считаем функцию ϕ оп-

ределенной в узлах сетки. Соответствующие значения обозначаем ϕnm . По-

скольку сетка прямоугольная, расстояние между узлами (n+1,m) и (n,m), то есть шаг сетки по x, не зависит от y, и шаг сетки по y не зависит от x. По-

этому шаги можно пронумеровать одним полуцелым индексом hn+1/ 2 и

hm+1/ 2 .

77

Тогда поток через правую границу ячейки (n,m), который мы сопоставляем ребру (n+1/2,m), можно вычислить как

Индексом h подчеркиваем, что ϕn – это набор чисел ϕnm , используе-

мый для аппроксимации значений ϕ(x, y) в узлах сетки.

При постоянных коэффициентах и шагах сетки получается классическая пятиточечная разностная аппроксимация оператора Лапласа, дополненная младшим членом при σ ≠ 0.

3.3.7.Способ решения дискретных уравнений диффузии

Основные вычислительные трудности при решении уравнения (6) связаны с обращением оператора диффузии с поглощением А (16). Поэтому

79