Комплексне число як оператор повороту

Комплексне число можна розглядати як точку і як вектор. Розглядають ще одне важливе тлумачення комплексного числа.

Нехай ми маємо на площині якийсь вектор (додаток Г) іz – його комплексна координата. Повернемо вектор навколо початку О на кут α (проти руху годинникової стрілки, якщо α>0, і за годинниковою стрілкою, якщо α<0) і розтягнемо цей вектор (не змінюючи його початку) з коефіцієнтом розтягу ρ (розтягуємо «в ρ разів»; при 0<ρ<1 це п

еретворення буде стиском). В результаті ми отримаємо новий вектор; його комплексну координату позначимо черезw. Як же виражається число w через числа z, α, ρ?

Нехай z = re^іφ. Ясно, що |w|=ρr, φ+α – один із аргументів числа w. Тому, w = ρre^i(φ+α) = (ρe^iα)·(re^iφ). Позначимо через с комплексне число ρe^iα. Тоді маємо: w=cz.

Таким чином, якщо над вектором виконати операції повороту (на кут α) і розтягу (з коефіцієнтом розтягу ρ), то його комплексну координатуz потрібно помножити на комплексне число с=ρe^іα. І навпаки, якщо комплексну координату z деякого вектора помножити на комплексне число с= ρe^іα, то нове число w=cz буде являти собою комплексну координату вектора , який може бути отриманим з векторашляхом повороту (на кут α) і розтягом (з коефіцієнтом ρ).

Можна сказати так: кожен комплексний множник с (с≠0) можна тлумачити як оператор повороту (на кут α, що рівний аргументу числа с) і розтягу (з коефіцієнтом розтягу, що дорівнює |с|).

Латинське слово «оператор» означає виконавець. Можна сказати, що множник с (у формулі w=cz) перетворює вектор з координатою z у вектор з координатою cz. Ми вияснили геометричну картину: що «робить» комплексний множник с з вектором z, які елементарні геометричні перетворення потрібно виконати над цим вектором, щоб отримати вектор cz. Зрозуміло, що цей висновок легко узагальнити на той випадок, коли початком якого-небудь з даних векторів не є початок координат. Наприклад, якщо вектори імають комплексні координатиz i w, причому w=-3iz, то це означає, що після повороту вектора навколо К на кутрадіан (arg (-3i) = ) і розтягу його з коефіцієнтом 3 (|-3і|=3) отримаємо вектор .

Особливо важливий випадок, коли |с|=1. Тоді комплексне число с (воно має вигляд e^iα) являє собою оператор повороту. Наприклад, комплексне число і (і=) є оператором повороту на кут радіан (поворот здійснюється в додатному напрямі, тобто проти годинникової стрілки).

Застосування комплексних чисел при розв’язуванні задач

Отже, ми розглянули три різних тлумачення комплексних чисел (комплексне число – точка на площині; комплексне число – вектор; комплексне число – оператор повороту і розтягу). Саме ця багатоликість комплексних чисел робить їх особливо зручним апаратом для розв’язку задач з геометрії і механіки.

Приклад 1. ОАВС – квадрат (додаток Д). Вектор має комплексну координатуz = 3-і. Обчислимо комплексну координату вектора (позначимо її через w₁) і вектора (w₂).

Розв’язання. Можна одержати , якщоповернути на кутрадіан і потім розтягнути з коефіцієнтом розтягу. Тому. Якщоповернути на 90⁰ в додатному напрямі , то отримаємо вектор . Тому w₂=іw₁= =і(4+2і)=-2+4і.

Приклад 2. Гострий кут при вершині О ромба OZ₁Z₂Z₃ ( О – початок координат ) дорівнює 45⁰, а вершина Z₁ має комплексну координату z₁=(вершиниO, Z₁, Z₂, Z₃ слідують проти годинникової стрілки). Знайдемо комплексні координати інших вершин ромба.

Розв’язання. Позначимо комплексні координати вершин ромба Z₁, Z₂, Z₃ відповідно через z₁, z₂, z₃, вершина О має комплексну координату 0. Вектор отримуємо з векторашляхом повороту (без розтягу) на кут 45⁰ (радіан). Тому маємо:=Оскільки, то отримаємо:z₂=z₁+z₃= .

Із отриманого тлумачення комплексного множника випливає важливий наслідок: два вектори колінеарні тоді і тільки тоді, коли відношення їх комплексних координат є дійсним числом (і при тому додатнім, якщо вектори співнапрямлені, і від’ємним, якщо вектори протилежно напрямлені). Дійсно, нехай вектори імають комплексні координати z=re^іφ, w=ρe^іθ. Якщо вектори іспівнапрямлені, то θ=φ ( з точністю до цілого кратного числа 2π), і тому w/z = ρ/r >0. Якщо ж векториіпротилежно напрямлені, то θ=φ+π (з точністю до цілого кратного числа 2π), і тому w/z =-ρ/r <0.

Якщо іне колінеарні, то θ-φ≠kπ і число w/z не є, очевидно, дійсним.

Приклад 3. Зобразимо на комплексній площині точки Z₁, Z₂, Z₃ з координатами 8+13і, 13+21і, 21+34і. Чи лежать вони на одній прямій?

Розв’язання. При розгляді вказаних точок складається враження, що вони лежать на одній прямій. Перевіримо це наступним міркуванням. Точки Z₁, Z₂, Z₃ тоді і тільки тоді лежать на одній прямій, коли вектори іколінеарні, а це буде тільки в тому випадку, коли відношення їх комплексних координат z і w являє собою дійсне число. Алеz = z₂-z₁=5+8i, w=z₃-z₂=8+13i, . А це не дійсне число. Отже, точки Z₁, Z₂, Z₃ не лежать на одній прямій. Неважко знайти кут α між векторами і : tg α =, тоді α=0⁰24^/.

Приклад 4. Одного разу юним слідопитам дістався такий запис: «Я, пірат Кід, на прізвисько Математик, закопав скарб на великій лісовій галявині, де ростуть берізка В, старий дуб D, і на відстані біля 50 метрів від нього велика сосна С. Точку В я подумки повернув навколо дуба D на 90⁰ проти напрямку руху Сонця, а відносно сосни на 90⁰ за напрямком руху Сонця. В результаті я отримав дві точки: D₁ і С₁, середину К відрізка D₁C₁ я вибрав місцем для скарбу.» Діти знайшли галявину і за допомогою комплексних чисел знайшли скарб. Як вони це зробили? (додаток Е)

Розв’язання. Будемо вважати, що точки В, С, D, С₁, D₁, К (див рисунок) задані на координатній площині і b, с, d, c₁, d₁ i k їх координати. Тоді d₁-d=i(b-d), c₁-c=-i(b-c), k=(c₁+d₁), звідки k=(c+d)+ +i.Число m=(c+d) – це координата середини М відрізка DC, а число p=(c-d) – координата вектора . Оскільки,k-m=ip, то ясно, що точку К можна отримати з точки С, якщо останню повернути навколо точки М в додатному напрямі (проти напряму руху Сонця) на 90⁰.

Отже, можна зробити висновок, що одних знань про дійсні числа не вистачає для повного вивчення математики. Є багато інших цікавих розділів, вивчення яких є дуже важливим для нашого подальшого життя. І, саме одним із цих розділів, є розділ математики про комплексні числа.