Дії над комплексними числами
Для того, щоб комплексні числа можна було дійсно вважати числами, необхідно було ввести правила дій над комплексними числами. Такі правила були введені так, як ніби ці числа многочлени відносно букви і; при цьому добуток і∙і дозволяється замінювати на -1. Тобто z1+z2=(а1+а2)+(b1+b2)і; z1-z2=(а1-а2)+(b1-b2)і;
z1∙z2=(а1а2b1b2)+(a1b2+a2b1)і. Наприклад, якщо z1=2-3і, z2=-5+2і; z1+z2=-3-1і; z1-z2=7-5і; z1z2=(-10+6)+(4+15)і=-4+19і.
Серед дійсних чисел немає такого числа х, яке задовольняє умову х2=-1. В той же час рівність (0+1і)(0+1і)=-1+0і показує, що серед комплексних чисел корінь рівняння х2=-1 існує. Таким числом є 0+1і (або просто і). Більш того, легко перевірити, що у цього рівняння є й інший корінь 0-1і (тобто –і). Якщо записати формули для натуральних степенів числа і (і1=і; і2=-1; і3=і2∙і=-і; і4=і2·і2=-1·(-1)=1; і5=і4·і=1·і=і; і т.д.), то можна переконатися, що всього є тільки 4 варіанти (і, -1, -і, 1), які строго чергуються. Тому, щоб знайти іn, достатньо піднести і до степеня, показником якого є остача від ділення n на 4. Наприклад, щоб знайти і97, потрібно 97 розділити на 4: 97=4·24+1, а потім записати і97=і1=і.
Вводять
також поняття спряжених комплексних
чисел. Це такі числа, дійсні частини
яких рівні, а уявні – протилежні. Число,
спряжене із числом z позначають ž.
Добутком двох спряжених чисел z∙ž =
|z|2=
а2+b2.
Часткою двох комплексних чисел
.
Наприклад,
z
=
.
На протязі близько 140 років після виникнення комплексних чисел ніхто не шукав зв’язку між уявними числами і геометричними образами. Тільки в 1685 році англійський математик Дж. Валліс звернув увагу на те, що комплексне число z=а+bі задається двома дійсними числами а і b, а з іншого боку, точку на координатній площині теж можна задати парою цих же чисел. Пізніше на цю ж відповідність звертали увагу й інші математики, зокрема Г. Кюн і Л. Ейлер. В кінці XVІІІ – на початку XІX ст.. геометричне обґрунтування комплексних чисел і арифметичних дій над ними дали данський математик К. Вессель, швейцарець Ж. Арган, французький математик М. Бюе, англієць Дж. Уоррен та інші. Серед інших математиків необхідно виділити німецького математика К. Ф. Гаусса, який зумів застосувати це обґрунтування до розв’язання змістовних і важких геометричних задач.
Геометричний зміст комплексного числа
Побудуємо на площині декартову систему координат хОу. Нехай Z – яка-небудь точка на площині. Її положення визначається двома дійсними числами – координатами (а; b).
Поставимо тепер у відповідність точці Z комплексне число z=а+bi. Це комплексне число назвемо комплексною координатою (чи просто координатою) точки Z. Наприклад, точка з дійсними координатами (0; 1) має комплексну координату 0+1і, тобто і. Між іншим, замість слів «комплексна координата» часто вживається термін «афікс».
Кожному комплексному числу z відповідає на декартовій площині хОу цілком конкретна точка Z, чиєю комплексною координатою є саме це число z. Маючи на увазі вказану відповідність, можна коротко сказати, що комплексне число – це точка на площині (додаток А).
Точки осі абсцис Ох, і тільки вони, мають своїми комплексними координатами дійсні числа, тому вісь абсцис називають дійсною віссю. Точки осі ординат Оу, і тільки вони, мають своїми комплексними координатами чисто уявні числа, тому вісь ординат називають уявною віссю. А всю площину, яка служить для наглядного тлумачення комплексних чисел, називають комплексною числовою площиною і позначають буквою С. Комплексною координатою початку координат є, очевидно, число нуль (0). В зв’язку з цим початок координат називають нулевою точкою комплексної площини.