4.8 Понятия об уравнивании геодезических измерений

Геодезические измерения характерны тем, что их всегда больше, чем необходимо для определения величин. Например, для решения треугольника измеряют три угла, тогда как было бы достаточно измерить два угла. Эти избыточные измерения выполняют с целью контроля и повышения точности определяемых величин. Результаты избыточных измерений вследствие погрешностей не могут точно удовлетворять математическим зависимостям между элементами геометрических фигур, к которым они относятся. Поэтому возникает необходимость в нахождении системы поправок к измеренным величинам, которая удовлетворяла бы геометрическим условиям. Однако таких систем может быть бесчисленное множество. Например, если сумма трех углов в треугольнике не равна 180^о, то можно предложить множество вариантов введения поправок в углы.

В теории вероятности доказывается, что оптимальной (вероятнейшей) системой поправок является та, которая определяется под условием, чтобы сумма квадратов поправок в измеренные величины была минимальной, то есть или

[V ²] = min, (4.53)

где V – поправки к измеренным величинам.

Способ нахождения вероятнейших значения измеренных величин при наличии избыточных измерений под условием (4.53) называется методом наименьших квадратов. Совокупность вычисленных работ по нахождению наиболее надежных (вероятнейших) результатов по методу наименьших квадратов называется уравниванием. Уравнивание имеет две цели:

1) найти наиболее надежное значение неизвестных с оценкой точности полученных результатов;

2) исключить все математические противоречия в зависимостях, существующих между измеряемыми величинами.

В качестве примера применения метода наименьших квадратов покажем, что арифметическая середина является вероятнейшим значением измеряемой величины в равноточных измерениях.

Запишем условие (4.53) в виде

f(L) = V₁² + V₂² + … + V_n² = (l₁ – L)² + (l₂ – L)² + … + (l_n – L)² = min.

Из математики известно, что минимум функции будет, если первая производная ее равна нулю, а вторая – больше нуля, т. е.

f ^'(L) = – 2(l₁ – L) – 2(l₂ – L) – … – 2(l_n – L ) = 0; (4.54)

f ^''(L) = 2n > 0.

Решив уравнение, (4.54) относительно L, получим

nL = l₁ + l₂ + … + l_n,

откуда

L = (l₁ + l₂ + … + l_n) / n = [l] / n,

т. е. получим тот же результат, как и в формуле (4.4), что и обеспечивает метод наименьших квадратов.

5 Измерение углов

5.1 Принцип измерения горизонтальных и вертикальных углов.

Устройство теодолита

Измерение углов на местности выполняют для определения взаимного положения точек в пространстве. При этом различают горизонтальные и вертикальные углы.Горизонтальным углом называют двухгранный угол между отвесными плоскостями, проходящими через его стороны. Он определяется углом β между проекциями сторон ОА и ОВ на горизонтальную плоскость Q, т. е. углом А^'ОВ^' (рисунок 5.1).

Горизонтальный угол отсчитывают по ходу часовой стрелки от 0 до 360^о. Чтобы определить величину угла А^'ОВ^', над его вершиной размещают градуированный круг (лимб). Центр круга совмещают с отвесной линией, проходящей через вершину угла О, а сам круг размещают в горизонтальной плоскости. Тогда радиусы этого круга оа и оb, лежащие в отвесных плоскостях, проведенных через стороны угла АОВ, образуют угол, равный горизонтальному углу между направлениями ОА и ОВ.

Если деления на круге подписаны по ходу часовой стрелки, а отсчеты по градуированной окружности обозначить через a и b, то угол β = b – a, т. е. горизонтальный угол равен разности отсчетов по горизонтальному кругу на правую и левую стороны угла.

Кроме горизонтальных углов различают вертикальные углы. Вертикальным называют угол между стороной угла и ее проекцией на горизонтальную плоскость. На рисунке 5.1 вертикальными будут являться углы υ_a и υ_b. Вертикальные углы отсчитывают от проекции к стороне. В том случае, если сторона угла расположена выше проекции, угол будет положительным (υ_a). Если сторона угла расположена ниже проекции, то угол будет отрицательным (υ_b). Вертикальные углы могут принимать значения в пределах от

–90^о до +90^о. Для измерения вертикальных углов градуированный круг необходимо разместить в вертикальной плоскости.

Описанный принцип измерения горизонтальных и вертикальных углов на местности реализуется в угломерном приборе, который называется теодолит. Принципиальная схема теодолита показана на рисунке 5.2.

Рисунок 5.2 – Схема теодолита:

1 – подставка теодолита с тремя подъемными

винтами;

2 – нижний горизонтальный круг с делениями

(лимб);

3 – верхний круг с отсчетным устройством

(алидада);

4 – зрительная труба для визирования на

предметы местности;

5 – вертикальный круг для измерения углов

наклона (вертикальных углов) линий;

6 – уровень для приведения плоскости лимба

в горизонтальное положение;

7 – колонки, на которых закрепляется

зрительная труба;

8 – становой винт для закрепления теодолита

на штативе