Выбор без возвращения и без учёта порядка

Теорема 3. Общее количество различных наборов при выборе  элементов из  без возвращения и без учёта порядка равняется

и называется числом сочетаний из  элементов по  элементов.

Доказательство. Согласно следствию 1,  различных номеров шаров можно упорядочить  способами. Поэтому из каждого набора, выбранного без возвращения и без учёта порядка, можно образовать  наборов, отличающихся друг от друга порядком следования номеров. Т.е. при выборе без возвращения и с учётом порядка возможно в  раз больше наборов, чем при выборе без учёта порядка. Поэтому число наборов при выборе без учёта порядка равно 

QED

Упражнение 4. Найти, сколько всего возможно различных результатов в следующих экспериментах:

а)

из колоды в 36 карт без возвращения, без учёта порядка вынимают три карты;

б)

из русского алфавита выбрасывают четыре буквы.

Выбор с возвращением и с учётом порядка

 Теорема 4. Общее количество различных наборов при выборе  элементов из  с возвращением и с учётом порядка равняется .

Доказательство. Первый шар можно выбрать  способами. При каждом из этих способов второй шар можно выбрать также  способами, и так  раз. Общее число наборов равно.

QED

Упражнение 5. Найти, сколько всего возможно различных результатов в следующих экспериментах:

а)

из колоды в 36 карт тянут три раза карту с учётом порядка и с возвращением;

б)

пятизначное число составляется из одних нечётных цифр;

в)

обезьяна напечатала на машинке слово из десяти букв.

Выбор с возвращением и без учёта порядка

Рассмотрим урну с двумя пронумерованными шарами и перечислим результаты выбора двух шариков из этой урны при выборе с возвращением.

с учётом порядка	без учёта порядка
(1,1)	(1,1)
(2,2)	(2,2)
(1,2) (2,1)	}     (1,2)

Видим, что в схеме «без учёта порядка» получилось три различных результата, в отличие от четырёх результатов в схеме «с учётом порядка». Заметим также, что никаким делением на «число каких-нибудь перестановок», которое помогло избавиться от учёта порядка при выборе без возвращения, число 3 из числа 4 получить не удастся.

  Теорема 5. Общее количество различных наборов при выборе  элементов из  с возвращением и без учёта порядка равняется

Упражнение 6. Проверить, что при  и  получается ровно 3.

Доказательство. Рассмотрим подробно, чем отличаются друг от друга два разных результата такой схемы выбора. Нам не важен порядок номеров, т.е. мы учитываем только, сколько раз в нашем наборе из  номеров шаров появился каждый номер. Поэтому результат выбора можно представить набором чисел , в котором  — число появлений шара номер  в наборе, и . Числа  принимают значения из . Два результата выбора в схеме выбора с возвращением и без учёта порядка различаются, если соответствующие им наборы  не совпадают (порядок следования элементов  учитывается).

Представим себе другой эксперимент, имеющий точно такие же результаты, и посчитаем их количество. Есть  ящиков, в которых размещаются  шаров. Нас интересует только число шаров в каждом ящике. Результатом эксперимента снова является набор чисел , где  равно числу шаров в ящике с номером , и . Числа  принимают натуральные значения или равны нулю.

А теперь изобразим результат такого размещения в виде схемы, в которой вертикальные линии обозначают перегородки между ящиками, а точки — находящиеся в ящиках шары:

Мы видим результат размещения девяти шаров по семи ящикам. Первый ящик содержит три шара, второй и шестой ящики пусты, третий ящик содержит один шар, в четвёртом и пятом ящиках лежит по два шара. Переложим один шар из первого ящика во второй и изобразим таким же образом ещё два результата размещения:

Видим, что все размещения можно получить, меняя между собой шары и перегородки, или расставляя  шаров на  местах. Число  получается так: у  ящиков есть ровно перегородка, считая крайние, но из них перемещать можно лишь  внутреннюю перегородку. Таким образом, имеется  мест, которые можно занять шарами либо внутренними перегородками. Перебрав все возможные способы расставить  шаров на этих  местах (заполняя оставшиеся места перегородками), переберем все нужные размещения.

Осталось заметить, что способов расставить  шаров на  местах существует

Именно столько есть способов выбрать из  номеров мест  номеров мест для шаров.

Упражнение 7.

а)

Найти количество способов разложить натуральное число  в сумму  целых неотрицательных слагаемых, если важен порядок следования этих слагаемых.

б)

Найти число различных производных порядка  функции  переменных.

в)

Найти число возможных результатов подбрасывания двух игральных костей, если кости считаются неразличимыми. То же самое для трёх игральных костей.