Урны и шарики

Есть урна (ящик), содержащая  пронумерованных объектов (шаров). Мы выбираем из этой урны  шаров; результатом выбора является набор из  шаров. Нас интересует, сколькими способами можно выбрать  шаров из , или сколько различных результатов может получиться. На этот вопрос нельзя дать однозначный ответ, пока мы не определимся: а) с тем, как организован выбор (можно ли шары возвращать в урну), и б) с тем, что понимается под различными результатами выбора.

Рассмотрим следующие возможные способы выбора.

1.

Выбор с возвращением: каждый вынутый шар возвращается в урну, каждый следующий шар выбирается из полной урны. В полученном наборе из  номеров шаров могут встречаться одни и те же номера.

2.

Выбор без возвращения: вынутые шары в урну не возвращаются, и в полученном наборе не могут встречаться одни и те же номера.

Условимся, какие результаты выбора (наборы из  номеров шаров) мы будем считать различными. Есть ровно две возможности.

1.

Выбор с учётом порядка: два набора номеров шаров считаются различными, если они отличаются составом или порядком номеров. Так, при выборе трёх шаров из урны, содержащей 5 шаров, наборы (1, 5, 2), (2, 5, 1) и (4, 4, 5) различны, если порядок учитывается.

2.

Выбор без учёта порядка: два набора номеров шаров считаются различными, если они отличаются составом. Наборы, отличающиеся лишь порядком следования номеров, считаются одинаковыми.

Так, наборы (1, 5, 2) и (2, 5, 1) не различаются и образуют один и тот же результат выбора, если порядок не учитывается.

Подсчитаем, сколько возможно различных результатов для каждой из четырёх схем выбора (выбор с возвращением или без, и в каждом из этих случаев — с учётом порядка или без).

Упражнение 2. Перечислить все возможные результаты в каждой из четырёх схем при выборе двух шаров из четырёх. Например, при выборе с возвращением и без учёта порядка: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4).

Выбор без возвращения, с учётом порядка

Теорема 2. Общее количество различных наборов при выборе  элементов из  без возвращения и с учётом порядка равняется

и называется числом размещений из  элементов по  элементов.

Доказательство. Первый шар можно выбрать  способами, его номер — любой из  возможных. При любом выборе первого шара есть  способ выбрать второй шар. По теореме 1, число возможных пар

равно . Для каждой такой пары есть  способа выбрать третий шар. По теореме 1, число возможных троек

равно произведению числа пар  и числа способов выбора третьего шара, т.е. равно . Продолжая рассуждения, получим, что общее число возможных наборов из  шаров равно. В этом произведении  сомножителей последний множитель  есть число способов выбора -го шара, когда уже выбраны предыдущие.

QED

Следствие 1. Если в множестве  элементов, то существует ровно  перестановок этих элементов.

Доказательство. Перестановка — результат выбора без возвращения и с учётом порядка  элементов из . Поэтому общее число перестановок равно 

QED

Упражнение 3. Найти, сколько всего возможно различных результатов в следующих экспериментах:

а)

из колоды в 36 карт без возвращения, с учётом порядка вынимают три карты;

б)

Вася, Петя, Оля и Лена занимают какие-то четыре из десяти мест в классе;

в)

из русского алфавита выбирают четыре разные буквы и составляют слово;

г)

из различных цифр, не равных нулю, составляется трёхзначное число.