3. Булева алгебра

Пусть A, B и D - произвольные подмножества множества . Тогда непосредственно из определений объединения, пересечения и дополнения вытекают следующие предложения:

1)  (замкнутость операций объединения и пересечения);

2)  (коммутативность операций объединения и пересечения);

3)  (ассоциативность операций объединения и пересечения);

4)  (дистрибутивность операции объединения относительно операции пересечения);

 (дистрибутивность операции пересечения относительно операции объединения);

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

Если для элементов множества  определены объединение  и пересечение , для которых выполняются отношения 1) - 8), то тройка  называется булевой алгеброй. Таким образом, если  - семейство всех частей множества , то  - булева алгебра.

4. Принцип двойственности

Для произвольных подмножеств A и B множества  справедливы равенства

     (1)

Свойства, записанные равенствами (1), называются принципом двойственности. Их можно прочитать следующим образом: дополнение к объединению множеств равно пересечению их дополнений, а дополнение к пересечению множеств равно объединению их дополнений. Без труда принцип двойственности переносится на произвольное число подмножеств ; при этом записывают

     (2)

В этом случае символ дополнения C можно менять местами со знаком  или , при этом знаки эти переходят один в другой.

5. Алгебра множеств

Пусть  - некоторое множество, а P() - система всех подмножеств множества .

Непустое семейство , замкнутое относительно операций объединения, пересечения и разности множеств, называется кольцом множеств.

Множество E называется единицей семейства множеств , если  и  справедливо равенство .

Кольцо множеств, содержащее в качестве своего элемента единицу, называется алгеброй множеств.

Семейство множеств  называется полукольцом, если оно содержит пустое множество и если  и  существуют такие множества , что

где символ  означает объединение непересекающихся множеств.

В данном разделе мы займёмся подсчётом числа «шансов». О числе шансов говорят, когда возможно несколько результатов какого-либо действия (извлечение карты из колоды, подбрасывание кубика или монетки). Число шансов — это число способов проделать это действие или, что то же самое, число возможных результатов этого действия.

Теорема о перемножении шансов

Пусть одно действие можно проделать пятью способами, а другое — двумя. Каким числом способов можно проделать пару этих действий?

Теорема 1. Пусть множество  состоит из  элементов: , а множество  — из  элементов: . Тогда можно образовать ровно  пар , взяв первый элемент из множества , а второй — из множества .

Замечание 1. Можно сформулировать утверждение теоремы 1 так: если первый элемент можно выбрать  способами, а второй элемент —  способами, то пару элементов можно выбрать  способами.

Доказательство. С элементом  мы можем образовать  пар: . Столько же пар можно составить с элементом , столько же — с элементом  и с любым другим из  элементов множества . Т.е. всего возможно  пар, в которых первый элемент выбран из множества , а второй — из множества .

QED

Упражнение 1. С помощью теоремы 1 доказать, что:

а)

при подбрасывании трёх монет возможно 2·2·2=8 различных результатов;

б)

бросая дважды игральную кость, получим 6·6=36 различных результатов;

в)

трёхзначных чисел бывает 9·10·10=900;

г)

трёхзначных чисел, все цифры которых различны, существует 9·9·8;

д)

чётных трёхзначных чисел возможно 9·10·5.