Основні властивості малих вільних коливань

1. Вільні коливання механічної системи є гармонічними коливаннями.

2. Частота і період вільних коливань не залежать від початкових умов, а залежать тільки від параметрів системи.

3. Амплітуда – стала величина, залежить від початкових умов

4. Початкова фаза – стала величина, залежить від початкових умов.

Приклад виконання завдання д-23

Завдання Д-23.

Визначити циклічну частоту і період малих вільних коливань механічної системи з одним ступенем вільності, нехтуючи силами опору і масами ниток.

Знайти рівняння руху вантажу 1 . За початок відліку на осі прийняти положення спокою вантажу 1 (при статичній деформації пружини). Знайти також амплітуду коливань вантажу 1.

рис.1

Дано: схема системи (рис.1). Маси тіл системи: =1 кг,=2 кг,=3 кг. Масою стержня 7 знехтувати. Радіус інерції блока 3: . Довжина однорідного стержня 6: ℓ=0,5 м. Коефіцієнт жорсткості пружини: с=5Н/см=500Н/м. Початкові умови: при ,=0,3 см,=4 см/с Розв’язання. 1. За умовою задачі механічна система має один ступінь вільності, тобто вантаж 1 рухається тільки по вертикалі уздовж осі y. 2. оскільки за умовою задачі треба знайти рівняння руху вантажу 1 уздовж осі y доцільно за узагальнену координату вибрати координату у. На рисунку 1 положення вантажу 1 визначає координата y=0.

рис.2

3. На тіла механічної системи діють сили ваги і сила пружності. Це потенціальні сили. Для виводу диференціального рівняння руху заданої механічної системи скористаємося рівнянням Лагранжа II роду для консервативної системи: (1) 4. Знайдемо кінетичну енергію системи: . (2) Виразимо кутові швидкості тіл 3 і 6 через узагальнену швидкість тіла 1: . Кінетична енергія тіл1,3 і 6 має вид: ;

;

.

Підстановка в рівняння (2):

(3)

5. Знайдемо потенціальну енергію системи, яка визначається роботою сил ваги системи і сили пружності пружини на переміщенні системи з відхиленого положення, коли вантаж 1 має координату y, в нульове положення, яким вважаємо положення спокою системи (рис.2):

.

Потенціальна енергія, що відповідає силам ваги при заданому переміщенні:

де h – вертикальне переміщення центра ваги стержня 6, яке обчислюємо з точністю до величин другого порядку малості відносно узагальненої координати y.

З рис.2:

Розкладемо cosφ в ряд Маклорена: .

Обмежимося в формулі розкладання двома першими членами.:

,.

Враховуючи, що , знайдемо:

.

Таким чином:

Потенціальна енергія деформованої пружини при заданому переміщенні системи дорівнює:

де – статична деформація пружини;

λ – переміщення точки кріплення пружини при переміщенні вантажу 1 на відстань y,

,

Знайдемо потенціальну енергію системи:

Оскільки, в положенні спокою, що відповідає статичній деформації пружини

то

Таким чином, потенціальна механічної системи дорівнює:

(4)

Знайдемо значення членів рівняння (1):

Рівняння (1) приймає вид:

або

Коефіцієнт при y позначимо і отримаємо диференціальне рівняння малих вільних коливань заданої механічної системи:

(5)

Знайдемо циклічну частоту вільних коливань:

Період вільних коливань:

Інтегруючи рівняння (5), отримаємо рівняння руху вантажу 1:

. (6)

Для визначення сталих інтегрування ізнайдемо швидкість вантажу і скористаємося початковими умовами задачі:

Початкові умови: .

Визначимо сталі інтегрування: .

Підставивши числові значення сталих інтегрування і циклічної частоти в рівняння (6), отримаємо рівняння руху вантажу 1:

(7)

Рівняння руху (6) можна представити в іншій, так званій амплітудній, формі. Введемо позначення:

тоді

З урахуванням прийнятих позначень рівняння руху (6) має вид:

Після підстановки числових значень, рівняння руху вантажу 1 приймає вид:

.

Амплітуда коливань a=0,37 см.

Відповідь: