Короткі відомості з теорії і методичні вказівки, необхідні для виконання завдання д-23 Дослідження вільних коливань механічної системи з одним ступенем вільності

1. Малі коливання механічної системи можуть здійснюватися тільки в околі положення стійкої рівноваги системи.

2. Стан спокою механічної системи називають стійким, якщо ця система, при виведенні її зі стану спокою, здійснює коливання біля цього положення.

3. Критерій стійкості стану спокою для систем з голономними і стаціонарними в’язями, які знаходяться в потенціальному силовому полі, встановлюється в залежності від потенціальної енергії цих систем.

4. Умови стійкості рівноваги системи з кінцевим числом ступенів вільності встановлюється теоремою Лагранжа–Діріхле: ті положення спокою консервативної системи, в яких потенціальна енергія системи досягає мінімуму, є її стійкими положеннями рівноваги.

5. Для консервативної механічної системи з одним ступенем вільності положення рівноваги (спокою) визначається рівнянням:

(1)

Щоб визначити, чи стійкий стан спокою механічної системи в цьому положенні, необхідно вияснити, чи має потенціальна енергія системи в цьому положенні мінімум. В цьому випадку умова мінімуму буде виконана, якщо:

(2)

6. Вільними коливаннями механічної системи називаються такі коливання, коли на точки системи діють лише відновлюючі сили.

7. Для консервативної механічної системи з одним ступенем вільності узагальнена сила визначається формулою:

(3)

а рівняння Лагранжа II роду має вид

(4)

Скориставшись рівнянням ЛагранжаII роду можна отримати диференціальне рівняння вільних коливань механічної системи:

. (5)

Згідно з методом Ейлера розв’язання рівняння (5) будемо шукати у вигляді:

(6)

де λ – деяке стале число (дійсне чи комплексне), яке треба визначити.

Підставляючи функцію (6) в рівняння (5), отримаємо:

(7)

Звідси випливає, що λ повинно задовольняти рівнянню

(8)

Рівняння (8) називається характеристичним рівнянням, а його корені – характеристичними числами цього рівняння:

(9)

Рівняння (8) має два чисто уявних кореня. Розв’язання диференціального рівняння (5) при наявності уявних коренів характеристичного рівняння має вигляд:

, (10)

де А і В – сталі величини, які визначають з початкових умов задачі.

Вираз (10), як правило, представляють в іншій формі. Для цього скористаємося формулами Ейлера:

(11)

Після підстановки (11) в рівняння (10), маємо:

(12)

Введемо позначення: .

З урахуванням прийнятих позначень, рівняння (12) має вид:

(13)

де і– нові сталі інтегрування, які визначають з початкових умов задачі.

Вираз (13) можна представити в ще одній, так званій амплітудній, формі. Для цього введемо нові сталі величини a і β:

Звідки: (14)

Після підстановки в рівняння (13), маємо:

(15)

Рух механічної системи, що визначається рівнянням (13) або (15) називається гармонічним коливанням. Гармонічними називають такі коливання, при яких узагальнена координата змінюється з часом по закону синуса або косинуса.

Величину a називають амплітудою коливань. Вона визначає найбільше відхилення узагальненої координати від положення рівноваги.

Безрозмірна стала β називається початковою фазою коливань. Вона визначає значення фази коливань (kt+β) при t=0. Початкова фаза може змінюватися в межах від нуля до 2π. Для визначення початкової фази з початкових умов, можна використати будь-яку комбінацію двох її тригонометричних функцій з (14), наприклад, sinβ і cosβ. По одній тригонометричній функції, наприклад, tgβ, отримаємо два різних значення для β.

.Стала величина k називається круговою або циклічною частотою коливань і визначає кількість коливань за 2π секунд.

Стала величина називається періодом коливань.Період коливань – це проміжок часу, за який відбувається одне повне коливання.