КЛ по Информатике-2008-часть2_укр

Аналіз чисельних результатів та їх використання

Рис. 1.1 Основні етапи дослідження інженерних задач

Розкриваючи в цій нерівності модуль, одержуємо співвідношення, що задає відрізок, якому належить точне значення:

10

1.3. Структура погрішності

Є чотири джерела погрішності результату: математична модель, початкові дані, наближений метод і округлення при обчисленнях (рис. 1.3).

Рис. 1.3 Структура погрішності результату чисельного рішення

Один з типів погрішностей обумовлено неадекватністю обраної математичної моделі початковій фізичній. Ця неадекватність більшою чи меншою мірою властива всім приблизно вирішуваним задачам. Дана погрішність з’являється неусувною, і вона визначається на восьмому етапі рішення задачі (див. рис. 1.1). Решта трьох типів погрішностей є суто обчислювальними і обумовлені наступними причинами.

11

Початкові дані нерідко неточні; наприклад, це можуть бути експериментально зміряні величини. Так, наприклад, в високоточних фізичних вимірюваннях точність доходить до 10- 12, та вже характерна астрономічна і геодезична точність дорівнює 10-6, а в багатьох фізичних

ітехнічних задачах погрішність вимірювання буває 1 – 10%. Погрішність початкових даних

δx призводить до так званої неусувної (вона не залежить від математика) погрішності рі-

шення δ y = A(x +δ x)− A(x).

Якщо усунути невизначеність в початкових даних, наприклад, шляхом їх фіксації і знайти рішення за допомогою якого-небудь чисельного методу, то отримаємо результат, що не в точності відповідає початковим даним. Це є погрішність чисельного або якого-небудь іншого наближеного методу (наприклад, приблизно-аналітичного); саме такі погрішності оцінюватимуться при розгляді чисельних методів. Ці оцінки можуть бути отримані до виконання обчислень (оцінки апріорі (1.5)) і після них (оцінки апостеріорі (1.6)).

Апріорі (1.5)

АПРІОРІ (від лат. apriori – з передування), поняття логіки і теорії пізнання, що характеризує знання, передуюче досвіду і незалежне від нього; введено в середньовічній схоластиці в протилежність апостеріорі.

Апостеріорі (1.6)

АПОСТЕРІОРІ (від лат. aposteriori – з подальшого), що походить з досвіду; поняття теорії пізнання, протилежне апріорі.

Погрішність методу пов’язана з тим, що точні оператор і початкові дані замінюються наближеними. Наприклад, замінюють інтеграл сумою, похідну – різницею, функцію – багаточленом або будують нескінченний ітераційний процес і обривають його після кінцевого числа ітерацій. Методи будуються звичайно так, що в них входить деякий параметр; при прагненні параметра до певної межі погрішність методу прагне до нуля, так що цю погрішність можна регулювати.

Погрішність методу доцільно обирати так, щоб вона була в 2–5 разів менше за неусувну погрішність. Велика погрішність методу знижує точність відповіді, а помітно менша – невигідна, бо це звичайно вимагає значного збільшення об’єму обчислень.

Підрахунки, як на папері, так і на комп’ютері виконують із певним числом значущих цифр. Це вносить у відповідь погрішність округлення, яка накопичується в ході обчислень.

Відзначимо, що в більшості прикладних задач неприємностей можна уникнути, проводячи розрахунок із подвійною або потрійною точністю. Така можливість реалізована в хорошому математичному забезпеченні комп’ютерів; це у декілька разів збільшує час розрахунку, проте дозволяє користуватися вже відомими алгоритмами, а не розробляти нові.

При будь-яких розрахунках справедливе правило: треба утримувати стільки значущих цифр, щоб погрішність округлення була істотно менше за всю решту погрішностей.

1.4. Значущі цифри

Значущими цифрами наближеного числа називають всі цифри в його записі, починаючи із першої ненульової зліва.

Перші п значущих цифр наближеного числа називаються вірними, якщо абсолютна погрішність цього числа не перевищує половини одиниці розряду, відповідного п-ій значущій цифрі, вважаючи зліва направо. Зайві збережені цифри, крім вірних, називаються сумні-

вними.

Обчислити наближене число із точністю ε = 10−n означає, що необхідно зберегти вірною значущу цифру, що стоїть в п-м розряді після коми.

На практиці виникає необхідність в округленні наближеного числа, тобто заміні його числом із меншою кількістю значущих цифр. Для округлення числа до п значущих цифр слід відкинути всі його цифри, що стоять праворуч від п-ої значущої цифри. При цьому:

12

а) якщо перша із відкинутих цифр менше 5, то десяткові знаки, що залишилися, зберігаються без зміни;

б) якщо перша із відкинутих цифр більше 5 або рівна 5 і серед решти відкинутих цифр є ненульові, то до останньої цифри, що залишилася, додається одиниця;

в) якщо перша із відкинутих цифр рівна 5 і решта відкинутих цифр нульових, то остання цифра, що залишилася, не змінюється, якщо вона парна, і збільшується на одиницю, якщо вона непарна.

Абсолютна і відносна погрішності записуються у вигляді чисел із однією або двома значущими цифрами, і вони округляються з залишком. У записі наближених чисел їх запи-

§ 2. Методи розв’язання нелінійних рівнянь: метод половинного ділення

2.1. Наближене розв’язання нелінійних рівнянь

Для досить складних алгебраїчних рівнянь (1.7) і трансцендентних рівнянь (1.8) не завжди можна знайти точне рішення, тому дуже часто доводиться застосовувати наближені (чисельні) методи знаходження коренів (1.9) таких рівнянь.

Алгебраїчне рівняння (1.7)

Рівняння називають алгебраїчним, якщо кожна з функцій, що входять до його складу є алгебраїчною (раціональною або ірраціональною). Одна з функцій може бути постійною ве-

личиною. Наприклад, x2 = 2

Трансцендентне рівняння (1.8)

Рівняння F (x)= f (x) називають трансцендентним, якщо хоча б одна з функцій F (x) або

де f (x) – функція визначена і неперервна на якомусь (навіть нескінченному) інтервалі a < x < b . У деяких випадках на функцію f (x) можуть бути накладено додаткові обмеження, наприклад, неперервність першої і другої похідних, на що спеціально вказується.

Потрібно знайти корінь рівняння (1.5) тобто числа x*1 , x*2 ,..., які шляхом підстановки їх в (1.5) перетворюють рівняння у вірну числову рівність. Числа x*1 , x*2 ,... також називаються нулями функції f (x).

Умова існування кореня рівняння (1.5) походить з теореми:

Якщо неперервна функція f (x) приймає значення різних знаків на кінцях відрізку

13

[a,b], тобто f (a) f (b)< 0 , то всередині цього відрізку утримується, принаймні, один корінь рівняння f (x)= 0 . Тобто, знайдеться хоча б одне число x* (a,b) таке, що f (x* )= 0 . Якщо ж f (x) є неперервною і диференційовуваною та її перша похідна зберігає знак всередині відрізку [a,b], то на даному відрізку перебуває тільки один ізольований корінь (1.10) x = x* рівняння.

Ізольований корінь (1.10)

Ізольований корінь – це значення x , що задовольняє f (x)= 0 і не утримує інших коренів у своєму околі.

Таким чином, при знаходженні коренів рівняння (1.5) чисельним методом, крім неперервності f (x) передбачається:

1. Функція приймає на кінцях відрізку різні знаки; 2. Похідні f ' (x) й f " (x) неперервні на відрізку;

3. Похідні на відрізку не змінюють знака.

Геометрично остання умова означає, що передбачається одна із чотирьох схем (рис.

1.4).

Рис. 1.4. Геометрична інтерпретація знакосталості похідних

Наближене знаходження ізольованих дійсних коренів рівняння (1.5) здійснюється у два етапи:

1.Знаходять відрізки ai ,bi , всередині кожного з яких утримується один і тільки один корінь рівняння. Цей етап називається процедурою відділення коренів. По суті, на ньому здійснюється грубе знаходження кореню x = x*i .

2.Грубе значення кожного кореня x = x*i уточнюється до заданої точності одним із чисельних методів, у яких реалізуються послідовні наближення.

Перший етап значно складніше другого. Тому що не існує досить ефективних методів відділення всіх коренів. Найчастіше використають наступні способи знаходження відрізків ізоляцій: графічний (за допомогою побудови і дослідження графіків функцій); аналітичний (заснований на докладному дослідженні функції); метод послідовного перебору (заснований

14

на обчисленні функції із заданим кроком аргументу і виділенні тих відрізків, де функція змінює знак).

2.2. Відділення коренів

Відділення кореню починається із встановлення знаків f (x) у граничних точках об-

ласті визначення функції.

Після цього, або аналітично, або графічно, використовуючи особливості функції, знаходять значення функції в деяких проміжних точках x = x1 , x2 ,... і обирають інтервали, у

яких функція має різні знаки на кінцях інтервалу. За умовами вищевикладеної теореми в таких інтервалах існує корінь рівняння.

Після цього необхідно переконається в тім, що в кожному інтервалі перебуває тільки один корінь. У противному випадку змінювати інтервал.

Цей метод зручний своєю наочністю, але при обчисленнях вручну ним не завжди можна скористатися, оскільки:

1.f (x) може являти собою функцію, графік якої побудувати дуже складно (наприклад, y = ex + sin x ).

2.Обмеженість розмірів креслення дозволяє знайти корінь тільки в деякому обмеженому проміжку.

Перший недолік можна усунути, якщо вдається записати вихідне рівняння f (x)= 0 у вигляді ϕ (x)= g (x), при якому графіки y =ϕ (x) і y = g (x) побудувати значно простіше. Тоді корені рівняння знаходять як абсциси точок перетинання графіків y =ϕ (x) і y = g (x).

Приклад. Відокремити корінь рівняння: x ln x = 1

Рішення. Запишемо це рівняння у вигляді ln x = 1x . Побудуємо графіки і визначимо точку їх перетинання (рис. 1.5).

Перевагою графічного методу (крім його наочності) є те, що часто він дає можливість оцінити кількість коренів і їх знаки.

15

Початковий інтервал невизначеності (1.11)

Відрізок [a,b] називається початковим інтервалом невизначеності, тому що відомо, що корінь йому належить, але його місце розташування з необхідною точністю не визначено

Основна ідея методу бісекцій полягає у наступному: ділимо відрізок ізоляції навпіл і обираємо ту половину, де функція змінює знак, одержуємо новий відрізок ізоляції, довжина якого у два рази менше попереднього. Цю процедуру повторюємо доти, поки довжина відрізка ізоляції не стане менше заданої точності. Розглянемо це більш докладно.

16

a1 ;b1 . Довжина цього відрізку дорівнює: b1 −a1 = b −2 a .

Відрізок a1 ;b1 знову ділимо навпіл і обираємо новий відрізок a2 ;b2 аналогічно. Будуємо послідовність відрізків an ;bn , кожний з яких вдвічі менше попереднього, таким чином одержимо послідовність вкладених друг у друга відрізків ai ;bi таких, що

f (ai ) f (bi )< 0 (i = 1,2,3,...,n).

Цей процес послідовного ділення навпіл продовжуємо доти, поки не виконається одна із двох умов:

1.Або знайдеться така точка cn = an +2 bn , у якій f (cn )= 0 і cn – точне значення кореню (на практиці виходить досить рідко).

2.Або на деякому кроці одержимо відрізок ізоляції an ;bn , довжина якого менше необхідної точності:

Ліві кінці відрізків утворять монотонну неспадну послідовність an , а праві – bn , утворять монотонну незростальну послідовність. Отже, ці послідовності мають ту саму границю x* :

x* = lim an = lim bn

n→∞ n→∞

Підставляючи x* в (1.6) перейдемо до границь. Одержимо

lim f (an ) f (bn )= f (x* ) f (x* )< 0 .

n→∞

Це протиріччя, таким чином f (x* )= 0 .

Оскільки корінь належить відрізку ізоляції an ;bn , то в цьому випадку, будь-яке число із цього відрізку відрізняється від точного значення кореня менше, ніж на ε . Числа an і bn є наближеними значеннями шуканого кореня з нестачею і надлишком відповідно. Звичайно беруть як відповідь число із середини останнього відрізку ізоляції:

Можна заздалегідь оцінити кількість ділень навпіл вихідного відрізку. Оскільки щораз довжина відрізка зменшується у два рази, то по досягненні необхідної точності ε за n кро-

ків одержимо відрізок довжиною bn −an = b2−na < ε . Звідси можна виразити, злогарифмува-

вши, n :

17

бити додатково n1 > lglg k2 кроків.

Основною перевагою методу бісекцій є надійність, стійкість до помилок округлення, відсутність обмежень на вид функції f (x) (потрібно тільки неперервність). Головний недо-

лік – повільна збіжність до точного рішення.

На практиці метод бісекцій використають у комбінації з яким-небудь швидкозбіжним методом: методом бісекцій спочатку грубо визначають початкове наближення, а потім застосовують швидкозбіжний метод (наприклад, метод Ньютона).

2.4. Реалізація метода половинного ділення в MS Excel

Приклад реалізації методу половинного ділення в середовищі Microsoft Excel наведено на рис. 1.6.

§ 3. Методи розв’язання нелінійних рівнянь: метод Ньютона

3.1. Постановка задачі

Якщо f (x), f ' (x) і f '' (x) безперервні в околі кореня, цю додаткову інформацію про властивості функції f (x) можна використати для побудови алгоритмів, які породжують

послідовності, що збігаються до кореня швидше, ніж при методі ділення навпіл. Метод Ньютона-Рафсона (або просто Ньютона, також має назви метод дотичних і метод ліне-

аризації (1.12)) є одним з найбільш корисних і найвідоміших алгоритмів, у якому використається неперервність першої і другої похідної. Він швидко збігається і допускає різні модифікації, пристосовані для рішення окремих задач. Однак, цей метод є ефективним при досить

жорстких обмеженнях на характер функції f (x):

Лінеаризація (1.12)

ЛІНЕАРИЗАЦІЯ (від лат. linearis — лінійний), один з найпоширеніших методів аналізу нелінійних систем (або залежностей), при якому вони розглядаються (з певними допущеннями) як лінійні.

Геометрична інтерпретація методу Ньютона полягає в наступному. Задається початкове наближення x(0) . Далі проводиться дотична до кривої y = f (x) в точці x(0) (рис. 1.7),

тобто крива заміняється прямою лінією. Як наступне наближення обирається точка перетинання цій дотичній з віссю абсцис. Процес побудови дотичних і знаходження точок перетинання з віссю абсцис повторюється доти, доки приріст не стане менше заданої величини ε .

18