строймех часть2

24

Построим упругий контур

1

EIP

dF 1 dl EI

d l

1

EIС

1 EIС

И коэффициенты запишутся:

Статические моменты и центробежный момент инерции равны нулю относительно главных осей, расположенных в центре тяжести сечения.

Следовательно, если неизвестные X1 ,X2 ,X3 приложены в центре тяжести упругого контура, то все побочные коэффициенты системы канонических уравнений будут равны нулю и система запишется:

11X1 1P 0;

Чтобы приложить неизвестные в центре тяжести упругого контура, используются жесткие консоли.

В рассмотренном примере:

Порядок определения положения центра тяжести упругого контура следующий:

1. на заданной раме строим упругий контур, ширина которого равна 1 ; EIi

2.выбираем систему координат, приняв в качестве одной из осей ось симметрии рамы;

3.находим положение упругого центра:

y0 SX F

Порядок расчета рам методом сил

1. Определяют степень статической неопределимости системы:

25

= CОП + 2Ш0 - 3D;

или

= 3K- Ш0 ;

2.Выбирают наиболее рациональную основную систему метода сил (с учетом возможных

упрощений).

3.Записывают систему канонических уравнений метода сил.

4.Для основной системы строят единичные Mi и грузовую MP эпюры моментов.

5.Определяют коэффициенты системы канонических уравнений.

6.Проверяют правильность вычисления коэффициентов (универсальная, построчная и проверка грузовых коэффициентов).

7.Решают систему канонических уравнений и определяют значение неизвестных X1 ,X2 ,....,Xn . Правильность решения системы следует проверить подстановкой найденных неизвестных в систему уравнений.

8.Строят исправленные эпюры MiXi

9. Суммируя исправленные эпюры и грузовую, получают результирующую эпюру

MР ЕЗ MP MXi i

10. Проверяют правильность построения эпюры MРЕЗ:

а) должно выполнятся равенство моментов в узлах;

в) деформационная проверка (MР ЕЗ Mi ) = 0.

11.По эпюре MРЕЗ строят эпюру поперечных сил Q и затем по эпюре Q - эпюру продольных сил N.

12.Выполняется статическая проверка равновесия рамы в целом :

MK = 0;x = 0;y = 0;

в эти уравнения входит заданная нагрузка и опорные реакции, которые берут из эпюр MРЕЗ , Q, N.

13. В случае необходимости определяют перемещения указанных сечений рамы.

Определение перемещений статически неопределимых систем

Для определения перемещений статически неопределимых систем необходимо вначале построить эпюры M от действия внешней нагрузки и от действия единичной обобщенной силы, приложенной по направлению искомого перемещения. И затем перемножая эпюры по правилу Верещагина, определяют искомое перемещение. При этом грузовую эпюру строят для заданной статически неопределимой системы (решая ее любым из известных методов: метод сил, перемещений и т.д.), а единичную эпюру строят для основной системы метода сил, что значительно упрощает процесс определения необходимых перемещений. Допустимость таких упрощений докажем на примере:

MРЕЗ

A l

26

Для заданной рамы эпюра MРЕЗ показана на рис. б. Если в опоре В отбросить две опорные связи и по направлению отброшенных связей приложить опорные реакции VB и HВ (см. рис. в), то эпюры моментов и деформации систем, показанных на рис. а и в будут одинаковы, а, следовательно, для определения сгор единичную эпюру можно строить как для заданной (рис. а) так и для основной (рис. в) системы метода сил, т.е.:

Лекция №23. Метод перемещений

Метод перемещений является таким же универсальным методом, как и метод сил, и может быть применен для расчета любых статически неопределимых систем. Однако наиболее рационально применение этого метода для расчета статически неопределимых рам и неразрезных балок. При расчете других статически неопределимых систем (ферм, арок и т.д.) решение методом перемещений получается более громоздким в сравнении с методом сил, и, в ручной реализации, для расчета таких систем метод перемещений, как правило, не применяется.

В методе сил за неизвестные принимались усилия в так называемых «лишних» связях, после определения которых мы могли найти все остальные усилия (M, Q, N) в любом сечении, а затем, используя полученные эпюры определить перемещения любой точки сооружения.

Но можно решить задачу и в другой постановке: вначале определить перемещения каких-либо точек сооружения, а затем соответствующие им усилия. Так решается задача в методе перемещений, где за неизвестные принимаются угловые и линейные перемещения узлов рамы.

Основные предпосылки метода:

1)как и в методе сил, пренебрегают влиянием продольных и поперечных сил на перемещения узлов рамы, учитывают влияние только изгибающих моментов;

2)из-за малости деформаций изгиба, пренебрегают изменением длин стержней за счет искривления их осей;

3)в общем случае нагрузки узлы рамы могут поворачиваться и линейно смещаться. Считается, что при повороте жесткого узла все примыкающие элементы поворачиваются на один и тот же угол. Элементы, сходящиеся в шарнирном узле, поворачиваются каждый на свой угол, в связи с чем угол поворота шарнирного узла определить не удается;

3

1

P

27

4) линейные перемещения узлов происходят по дуге окружности, но ввиду их малости считают, что перемещения узлов происходят перпендикулярно к элементу, которому они принадлежат.

Степень кинематической неопределимости рам (количество неизвестных)

Степенью кинематической неопределимости называется число неизвестных перемещений, знание которых определяет деформированный вид системы и, следовательно, все усилия в ней. Учитывая сказанное, степень кинематической неопределимости рамы определяется:

здесь: - степень угловой подвижности рамы. Она определяется числом жестких узлов рамы, не считая опорных, т.к. их положение заранее известно. Жестким считается узел, в котором, по крайней мере, два из сходящихся стержней соединены между собой жестко.

=4.

В одном узле может с помощью шарнира соединятся группа жестких узлов, например

шарнир

- степень линейной подвижности рамы, равна количеству возможных независимых линейных смещений узлов рамы.

28

=1

Если визуально определить затруднительно, то заданную раму превращают в шарнирно-стержневую систему, вводя во все жесткие узлы, в том числе и опорные, шарниры. Степень свободы полученной системы и определяет степень линейной подвижности рамы.

Например:

=2

W 3 5 2 4 5 2

Основная система метода перемещений и канонические уравнения

После определения числа неизвестных, выбирают основную систему метода перемещений. В отличие от метода сил, где основную систему выбирают статически определимой, в методе перемещений в качестве основной системы принимается кинематически определимая система, которая образуется из заданной путем наложения на ее узлы связей, препятствующих упругим перемещениям узлов.

Вводятся связи двух типов:

а) связи первого рода или упруго-податливые защемления, которые не дают узлам возможности поворачиваться, но не препятствуют возможным их линейным смещениям (моментные связи)

Связи первого рода

Связи первого рода вводятся во все жесткие узлы рамы.

29

б) связи второго рода или опорные стержни, которые не мешают повороту узлов, но исключают их возможные линейные смещения

связь второго рода

Вводят связи второго рода по направлению возможных линейных перемещений

узлов.

Рассмотрим пример выбора основной системы метода перемещений

=1+1=2

Z1 Z2

1 2

Z2

То есть основная система представляет собой набор отдельных статически неопределимых балок с постоянной жесткостью.

Идея метода: для того, чтобы основная и заданная система были равноценны в смысле деформаций и усилий, необходимо в основной системе связи повернуть на соответствующие углы и придать им линейные смещения как в заданной системе. При этом

вдополнительных связях возникнут реактивные усилия. В связях первого рода – реактивные моменты, а в связях второго рода – реакции. Так как в заданной системе дополнительных связей нет, то можно записать условия равноценности: реактивные усилия

вдополнительных связях от их перемещения и действия внешней нагрузки должны быть равны нулю, т.е.

r11 – реактивное усилие в связи 1 от единичного смещения связи Z1=1, т.е. индексы при коэффициентах обозначают

Тогда, система канонических уравнений метода перемещений для систем с двумя неизвестными запишется

30

r11Z1 r12 Z2 R1P 0r21Z1 r22 Z2 R2P 0

Для n-раз кинематически неопределимых систем

Лекция №24. Определение коэффициентов и свободных членов канонических уравнений

Как указывалось выше, благодаря введению дополнительных связей, основная система метода перемещений представляет собой набор отдельных статически неопределимых балок постоянной жесткости по длине. Их опорные закрепления могут быть двух типов: жесткое защемление или шарнир (см. рис. а и б)

Поскольку мы пренебрегаем продольными деформациями элементов, то возможными перемещениями узлов балок а) и б) являются вертикальные линейные перемещения и поворот жестко закрепленного узла.

Коэффициенты, входящие в канонические уравнения, представляют собой реактивные усилия в дополнительных связях от перемещений узлов и действия внешних нагрузок. Поэтому рассмотрим напряженно-деформированное состояние отдельных балок от различных возможных видов воздействий.

Z=1

1)EI

Аналогично решая задачу для других возможных видов воздействий, формируют таблицу напряженно-деформированных состояний отдельных балок.