Лекция 3

Лекция 3. Построение разверток поверхностей. Аксонометрия

• Построение разверток поверхностей способом триангуляции.

• Построение разверток поверхностей способом раскатки.

• Общие сведения об аксонометрии.

• Стандартные виды аксонометрических проекций.

Общие сведения

Разверткой поверхности называется плоская фигура, полученная путем совмещения элементов поверхности с плоскостью.

Если для поверхности можно построить её развертку точно без складок и разрывов, то поверхность называется развертываемой, в противном случае – неразвертываемой.

К развертываемым поверхностям относятся все гранные, а из линейчатых только – цилиндрические, конические и поверхности с ребром возврата.

Построение разверток развертываемых поверхностей

Существуют следующие способы построения разверток развертываемых поверхностей:

1. Способ триангуляции (треугольников);

2. Способ раскатки;

3. Способ нормального сечения.

3.1 Способ триангуляции

Способ триангуляции (треугольников) применяется для построения разверток пирамидальных и конических поверхностей. Они выполняются по одному принципу. Каждая грань пирамиды представляет треугольник и для построения развертки необходимо определить натуральные величины всех сторон треугольника. По найденным натуральным величинам сторон вычерчиваются последовательно треугольные грани. Коническая поверхность, заменяется вписанной в нее, пирамидальной и решение задачи ведется аналогично пирамиде.

Рассмотрим пример, построения развертки, конической поверхности (рисунок 3.1)

Для построения развертки в конус вписываем двенадцатигранную пирамиду. Т.к. по условию конус расположен симметрично относительно оси, построим половину развертки. Образующие конуса имеют разную длину, поэтому натуральную величину определяем вращением до положения параллельного фронтальной плоскости проекций. Только образующие S1 и S7, проецируются в натуральную величину. По полученным натуральным величинам образующих и размерам хорд окружности основания, между образующими, строим половину развертки, состоящую из шести треугольников вписанной в конус пирамиды. Точки основания соединяем плавной кривой линией.

Рисунок 3.1

3.2 Способ раскатки

Способ раскатки применяется для построения разверток призматической и цилиндрической поверхности. И если поверхность цилиндрическая, то в нее вписывается призматическая поверхность. Поэтому принцип построения этих разверток одинаков.

Рассмотрим пример построения развертки наклонной треугольной призмы (рисунок 3. 2)

Развертку можно выполнять только в том случае, если боковые ребра призмы параллельны плоскости проекций, как на рисунке 3.2. В противном случае, сначала выполняется преобразование (методом замены строится новая проекция на плоскость параллельную ребрам). При выполнении развертки методом раскатки точки А₂ , В₂, С₂ перемещаются по перпендикулярам к боковым ребрам призмы. А натуральные величины отрезков СВ, ВА, АС берутся из горизонтальной проекции, т.к. основание призмы параллельно плоскости П₁. Боковые ребра остаются на развертке параллельными, т.к. каждая грань призмы является параллелограммом.

Способ нормального сечения (самост)

Способ нормального сечения используется также для построения разверток призматической и цилиндрической поверхностей.

Рассмотрим построение развертки призмы изображенной на рисунке 3.3а. Для этого построим нормальное сечение – сечение перпендикулярное боковым ребрам призмы (∆1,2,3).

Определим натуральную величину этого сечения, расположив его параллельно плоскости проекций П₁. Для построения развертки боковой поверхности призмы, строим периметр треугольника нормального сечения (рисунок 3.3б). Через точки сечения 1,2,3,1 проводим боковые ребра перпендикулярно сечению и откладываем на них натуральную величину, которая берется из фронтальной проекции рисунка 3.3а.

Соединив построенные точки, получим развертку боковой поверхности данной призмы (рисунок 3.3б).

3.3 Типы аксонометрических проекций

В зависимости от угла проецирования φ аксонометрия делится на два типа: прямоугольная и косоугольная.

Если направление проецирования является перпендикулярным к плоскости аксонометрических проекций – аксонометрия называется прямоугольной (φ =90º), в противном случае – косоугольной (φ≠90º).

По показателям искажения аксонометрия делится на три типа.

Если все показатели искажения равны, т.е. U = V = W, аксонометрия называется изометрией.

Если два показателя искажения равны, т.е. U = W ≠ U, то аксонометрия называется диметрией.

Если все показатели искажения различны, т.е. U ≠ V ≠W, то аксонометрия называется триметрией.

Натуральные показатели искажения по аксонометрическим осям в прямоугольной изометрии одинаковы и равны 0,82. В прямоугольной диметрии U = W = 0,94; V = 0,47.

Однако, при построении аксонометрии натуральные коэффициенты заменяют приведенными, т.е. выраженными целыми числами, что дает увеличение аксонометрического изображения, но на наглядность не влияет.

3.4 Стандартные виды аксонометрических проекций

В таблице 3.1 приведены наиболее применяемые стандартные виды аксонометрических проекций.

Таблица 3.1

	Изометрия U=V=W=1	Диметрия U=W=1, V=0,5
Прямоугольная
Косоугольная	Фронтальная изометрия	Фронтальная диметрия
	Горизонтальная изометрия

Примечание: коэффициенты искажения даны приведенные.

Построение аксонометрического изображения

Задача 1. Даны ортогональные проекции схематизированного здания (рисунок 3.4). Построить прямоугольную изометрию.

Рисунок 3.4

Рисунок 3.5

Прежде всего, выбираем положение ортогональных осей для получения более наглядного изображения (рисунок 3.4).

Строим оси аксонометрических проекций под углом 120º (рисунок 3.5). Построение аксонометрии начинаем с плана, т.е. со вторичной проекции. Так как коэффициенты искажения равны 1, то измеряем, координаты X и Y каждой точки плана и откладываем их на аксонометрических осях.

Прямые параллельные в ортогональных проекциях будут оставаться параллельными и в аксонометрии.

После построения плана откладываем все высоты параллельно оси Z, т.е. вертикально.

Соединив полученные точки с учетом видимости, получим аксонометрию здания.

Решение задач (самост)

Задача 1. Построить развертку усеченного прямого кругового цилиндра (рисунок 3.6а)

Развертка боковой поверхности цилиндра строится фактически методом нормального сечения, т.к. основание цилиндра перпендикулярно оси. Окружность основания развертывается в прямую линию равную длине окружности (πD). Можно ее построить, отложив размер хорд, соединяющих точки основания. Конечно, длина будет тем точнее, чем на большее число частей разбита окружность. Кривая сечения на развертке изобразится синусоидой (рисунок 3.6б) Для построения полной развертки необходимо к развертке боковой поверхности добавить основание и натуральную величину сечения.

Задача 2. Построить развертку усеченного прямого кругового конуса (рисунок 3.7а).

Так как в прямом круговом конусе все образующие одинаковой длины, развертка представляет собой сектор окружности с радиусом равным длине образующей конуса ℓ, а длина дуги равная длине окружности основания конуса (рисунок 3.7б). Поэтому, разделив окружность основания на 12 частей и затем, отложив на дуге сектора таких же 12 частей, получим развертку.

Рисунок 3.7

Угол α также можно определить по формуле:

α =d×180°/ L

где d – диаметр основания.