19. Методика изучения тригонометрических уравнений и неравенств.

Цель: систематизировать знания учащихся по теме «тригонометрические функции» и сформировать понятия «тригонометрические уравнения и неравенства»

Материал, связанный с уравнениями и неравенствами составляют значительную часть школьного курса математики, это объясняется тем, что уравнения и неравенства широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.

Тема «решение тригонометрических уравнений» изучается в 10 классе, сразу после объяснения темы обратных тригонометрических функций. Тригонометрические неравенства изучаются либо, после тригонометрических уравнений, либо данная тема дается отдельной главой «Неравенства» (М.И Башмакова. Алгебра и начала анализа 10-11 класс)

Специфика трансцендентных уравнений и неравенств

При рассмотрении различных классов трансцендентных уравнений необходимо уделять достаточное внимание формированию навыка применения тождеств для преобразования данных уравнений. Особенно явно это проявляется в тригонометрии, поэтому при изучении тригонометрических уравнений и неравенств большое значение приобретают задания и системы вопросов, связанные с распознаванием применимости того или иного тождества, возможности приведения уравнения к определенному виду. В частности, полезны задания типа «Изложить план решения данного уравнения». Здесь, как и при решении иррациональных уравнений, значительные трудности связаны, с тем, что некоторые тождества, используемые в преобразованиях, приводят к изменению области определения. К числу таких тождеств относят:

; ;;; (пример 2)

Использование этих тождеств слева направо, может привести к потери корней, а справа налево к появлению посторонних корней.

В отличие от иррациональных, показательных и логарифмических уравнений, где в каждом классе имеется по одному типу простейших, здесь приходится рассмотреть три типа простейших уравнений: ,,

(). Изучение этих типов уравнений, требует введения новых функций – обратных тригонометрических функций, что представляет собой сложную задачу. Кроме того, приходится рассматривать наряду с общими формулами решения, многочисленные частные случаи. Например, для уравненияк числу основных для усвоения фактов относятся:

1) знание общей формулы корней и условия

указывающего на наличие корней;

2) владение частными случаями этого уравнения для

3) владение геометрического смысла решения на системе координат.

Широкое использование графиков составляет заметную черту изучения простейших классов тригонометрических уравнений и неравенств. Графическая наглядность позволяет смягчить недостаточно уверенное владение учащимися обратными тригонометрическими функциями, которые по существу только здесь и применяются.

Тригонометрические уравнения изучаются с большой глубиной, здесь изучение доводится до выделение нескольких методов решения:

1) Сведение данного уравнения к решению простейших тригонометрических уравнений с помощью использования тригонометрических формул.

2) Сведение тригонометрического уравнения к алгебраическому виду

где - одна из основных тригонометрических функций с помощью замены переменных.

3) Различные приемы решения важных частных классов уравнений. К их числу относится метод введения вспомогательного аргумента,

Изучение решения тригонометрических неравенств в общеобразовательной школе является необязательным. Какие виды тригонометрических неравенств рассматриваются? Какие способы решения рассматриваются?

• Анализ учебников по теме «тригонометрические уравнения и неравенства».

М.И. Башмакова. Алгебра и начала анализа 10-11 класс. М, Дрофа, 2005г

(12 часов)