Вариант 10

1. На множестве всех целых чисел Z задана бинарная операция  по правилу x,yZ xy2xy11x11y55. Докажите, что операция  ассоциативна. Найдите нейтральный элемент для операции . Выполняется ли правило сокращения для операции ?

2. Докажите, что множество образует подгруппу аддитивной группы действительных чисел (R,+)? Будет ли S подкольцом поля действительных чисел R?

3. Решите уравнение AXB=C для подстановок 6-ой степени A=(162)(354), B=(3546) и C=(15)(26)(34). Найдите число инверсий и знаки подстановок A, B, C и X.

4. Докажите (методом математической индукции), что 9ⁿ8n1 делится на 16 при любых натуральных n.

5. Найдите x и y, считая их действительными числами: (1015i)x(520i)y73i.

6. Решите уравнение z²(55i)z612i0.

7. Докажите, что множество есть подкольцо поля действительных чиселR. Будет ли множество кольцом с единицей? Будет ли кольцополем? Будет ли кольцополем?

8. Докажите, что кольцо есть подкольцо кольца

9. Докажите, что множество матриц является кольцом. Зададим отображение :RZ по следующему правилу: для всех a,bZ. Докажите, что отображение  является гомоморфизмом колец. Найдите ядро Ker.

7