RI_OCR[4]

-У

ds =

1 + (j'(x)fdx.

Если линня задана уравнением х = !р(у), то

-У

ds =

1 + (!p'(y))2dy.

В случае параметрического задания линнн уравнениями

х =

!p(t),

У =

=1jJ(t)

ds =

.j(!p'(t))2 + (1jJ'(t))2dt.

Если лнния задана в

полярной системе координат

уравненнем

р =

=р(<р), то

-У

d!p.

ds =

р2 + (р')2

Пример 1. Найти днфференциал длины дуги циклоиды, заданной

уравнениями: х = a(t -

siп t), у = а(1 - cos t)

(а> О).

~ Имеем: х' = а(1 - cos t), у' = а sin t.

Тогда

ds =

~а2(1 -

cos t)2 + а2 sin 2 tdt =

= а-У1 - 2 cos t +cos 2 t + sin 2 t dt =

а-J:'2(-I---c-os-t-)dt =

= a-.J4 siп

2

~ dt = 2аsin T .

<l1li

dt

КривизЖJй К любой nлостй линии в точке М называется предел

модуля отношения угла между положительными направлениями

каса­

тельных

в

точках М

и

N

линии

(угла смежности) к

длине

дуги

у

MN = /l,.s,

когда

N-+M,

т.

е.

по

определению

К = lim

\~\= \.!!!:..\'

65-+0

/l,.s

ds

где ct -

угол наклона

касательной

в точке М к оси Ох (рис. 6.9).

Радиусом кривизны называется

величина R, обратная кривизне К

линии, т. е. R =

1/К. Например, для

х

окружности К =

I/R,

где

R -

ра­

диус окружности; для прямой К =

О.

L{ля произвольной линии крнвизна,

Рис. 6.9'

вообще говоря, не является посто­

янной величиной.

= р(<р), то

Ip2 + 2 (р'? - pp"l

К =

(р2 +(р')2)3/2

'

где производные вычисляются по полярному углу 'Р'

Пример 2. Найти крнвизну н радиус

кривизны линии у = х! в

точке М (1, 1).

~

Вычнслим значения первой и второй производных данной функ­

ции в точке М: у' = 2х,

у'(I) = 2,

у" = 2. Тогда

к

1y"1

2

2

1

5-J5

= (1 + (у'?)3/2 =

(1 +4)3/2

= 5-J5' R =

К = - 2 - ' <l1li

,11 ------

. , .

о

<::/...

х

Рис. 6.10

отрезок IMCI, равный

раднусу кривизны R кривой в точке М. Точка

Пример 3.

Записать

уравнение окружности кривизны линии у =

=х2 -6х+ 10

в точке Мо(3, 1).

~

Находим зиачения у' и у" в точке МО: у'=2х-6, у'!х_з=О,

у" = 2.

Тогда

кривизна

кривой в точке МО К = 2,

радиус

кривизны

R = 1/2.

По формулам

(6.4) находим

координаты

центра

кривнзны:

а = 3,

13

= 3/2. Уравнение окружности

кривизны имеет вид

2уу'= 2р, у' =..!!....

, ц" = -

..!!.... у' = -

4.

у

-

у2

У

1 +р2/ у2

УЗ

(2х)З/2

f\=Y+

= -- = --- .

-p2/if

р2

-JP

вентой по отношеиию к своей эволюте.

Пример 5.

Составить параметрические

уравнения

эвольвенты

окружности х2 +

у2 = r 2,

выходящей из точки A(r, О).

~ Вводя указанным на рис. 6.13 способом параметр /

и принимая

во внимание, что длина

дуги АС равна IMCI = r/, легко находим ко­

ординаты любой точки эвольвенты М(х, У):

х= IONI =

IODI + IDNI =

rcos / +r/ siп /,

У = IDBI =

IDCI -

IBCI =

r siп / - r/ cos /.

Окончательно имеем:

х = r(cos / + /sin /),

У = г(siп / -

/ cos /)....

Рис. 6.13

Рис. 6.14

4.

Вычислить

кривизну

и

радиус

кривизны

кривой

х2 + ху+у2 = 3

в

точке А(1,

1).

(Ответ: К = 1/(з-{i),

R =з,(2.)

кривизну

И

радиус

кривизны

кривой

5.

В~IЧИСЛИТЬ

t3

х = 3t 2 ,

У = 3! -

в точке 8(3, 2). (Ответ: К = 1/6, R =6.)

6.

Найти центр кривизны и записать уравнение окруж­

ности

кривизны

кривой у =

1/х в

точке А (1, 1).

(Ответ:

(х - 2)2

+ (у - 2)2 = 2.)

Самостоятельная работа

1.

1)

Найти

дифференциал

длины

дуги кривой у =

=tgx;

у2 = Х

2)

вычиСлить кривизну и

радиус кривизны

кривой

З

В точке М (4, 8). (Ответ: К =

3/40.)

2.

1)

Найти дифференциал длины дуги !'(ривой,

задан­

ной уравнениями х = а соs

З

t, у

= а siп

З

t;

roчке Мо(2, О). (Ответ: (х+3? +(У - ~)2

= 125/4.)

жружности

к~ивизны кривой У = ln х в точке М1(1,

О).

:Ответ: (х -

3) +(У +2) = 8.)

-

1.3. У =

4

_Зг.;.

-

2

4

3х

+-у х-

~

- к .

1.4.

У =

7...j; -

25

-

Зх

З

+.i..

х

х

1.5.

У =

5

-

1 ГА+ 6

7х + к

-ух

-;.

1.6.

У=

5 2

_ЗГА+ 4

5

х --ух

r

--;.

1.9. У=

8х

2

_ЗГА

4

2

+-ух-х- -

к'

1.10. У =

4х

6

5

_ЗГ1

7

+ - - -у х

-

4"'

х

х

1.15. у=..! -.2.. +QY-7x3

•

х5

Х

Vх-

1.16. У= ;

+ ~

- 4# + 2х7•

_4Гз

5

4

3

х.

1.26. у=-ух

-- +-5

+

х

х

1.27. У = 4х3 + ~ - -v;s -

~.

х

х

2

_3/ 4

4

2.1. у= уЗх

+2х-5+ (х-2)5.

2.2. у=..у(х-З)4-

~ 3 .

2х -3х+ I

2.6. У=-VЗх4 -

2х3 + х-

(x~2)3 •

2.7. У =.у(х -

7)5 + r

5

.

4 +3х- 5

2.8. Y=ГV(X+4)6-

r

2

.

2 -3х+7

2.9. У =

(х-34)7

--V5x'2 -

4х+ З.

2.10. У =.у4х'2 -

Зх -

4 _

2 .

(х- 3)5

2.11. У=

7

3

+-У8х-З+х2.

(x-I)

2.12. у=VЗх2 +4Х-5+

4

4'

(х-4)

2.13. У =-.у5х4

-

2х -

1 +

8

2'

(х- 5)

2.14. У=

3

5

-7-У5х-7х2_З.

(х+2)

_4/

5

-

r

4

.

2.15. У= y(x-I)

7

-3х+2

2.16. Y=ГV(X-2)6-

3

32

•

7х -х - 4

2.17.у=

3

]/

4

2

-у4+Зх-х.

(х+ 4)

2.18. У =

2

8

(х - 1)3

6r + 3х - 7 .

2.19. y=-V1+5х-2х'2+ (х~з)"

2.20. У =.у5 + 4х -

х2 -

5

з'

(х+ 1)

2.21. y=ij5x2 -4x+ 1- ( 7

?

х-5

2.23. У=-V(x -

3? + к-

9

.

7

-5х-8

2.24. У =.у(х -

8)4 -

2 2

•

1

+3х-4х

2.25. У =

32

--V(x + 1?

4х-3х

+ 1

2.28. У =-V(x -

4? -

2

10

.

(3х

-5x+l)

2.29. у= 7

5 -.у8-.5х+2х2.

(х+2)

2.30. У =.у(х -

1)5 +

2

5

.

2х -4х+7

3.13.

у = sin4 Зх· arctg 2хЗ. 3.14.

У = cos3 4x· arcctg-.r;.

3.15.

у = tgЗ 2х· arcsin х5 .

3.16.

У = ctg7 х· arccos 2ХЗ.

3.17.

у=гSiПХtg7хб.

3.18.

y=ecoSXctg8~.

3.21. у=siп2 зх. агссtgЗх5. 3.22. у =

cosVx· arctg х4•

3.23. у =

tg6 2х· cos 7~.

3.24. У =

сtgЗ 4х· arcsin.[x.

3.25. У =

ctg J... •arccos х4•

3.26. У =

tg.[x . arcctg зх5.

х

2tgx arctg5 Зх.

3.27. У =

tgЗ 2х. агссоs2хЗ . 3.28. у =

3.29.

У =

siп5 Зх. arctg....j;:.

3.30 у=соs4 зх. агсsil1Зх2•

4

4.1.

У = агссtз

2 5х ·1п(х- 4).

4.2.

У = arctg

2х· In(x +5).

4.3.

У =

arccos 4 х· In(x2+

х - 1).

4.4.

У =.yarccos 2х. з-х•

4.17.

У = ЗСОSХ aгcsin2 3х.

4.18.

У = 'П (х - 10) • aгccos2 4х.

5.17. У = 1п(х - 3)· arccos Зх4 •

5.18. y=10g (x-4).arctg34x.

5.19. у = (х -

2

7)4 arcctg27х.

5.20. У = .ух

3 arccos4 2х.

5.21. у =.ух

4 arcsin 4 5х.

5.22. у = (х -

3)5 arccos 3х6 •

6.1. У =

(х - з)4 arccos 5х3 •

6.2. у =(3х - 4)3arccosзr.

6.3. у =

sh34х . arccos-Vx.

6.4. у = th2-Vx, arcctg зr.

6.5. у =

cth35х· arcsin 3х2• 6.6. y=ch~ ·arctg(7x+2).

х

6.14.

У =

cth 4 7х· arcsin-W.

6.15.

у = sh3 2х· arcsin 7х2•

6.16.

у =

th5 4х . arccos Зх4 •

6.17.

У = ch2 5х· arctg';-;.

6.18.

у =

cth4 2х· arctg х3 •

6.19.

у =

sh4 5х· arccos 3х2•

6.20.

у =

ch39х· arctg(5x - 1).

6.21.

У =

th 4 х· aгcctgJ....