RI_OCR[4]
.pdf4. Дана прямоугольная трапеция ABCD, длины осно ваний AD н ВС которой соответственно равны-- --4 и 2,--а угол--
D равен 45°. Найтн проекции векторов-- AD, АВ, ВС--, АС
на ось 1, опредеЛSIемую вектором CD. (Ответ: прtАD =
=2-{2, ПРtАВ = -.j2, ПРtВС=.j2, прtАС=о.)
5. Вектор а составляет с координатнымн осямн Ох и Оу
углы а = 60°, ~ = 120°. Вычи~тьего коордннаты, ~и
lal = 2. (Ответ: а =( 1, -1, -у2) или а =( 1, -1, --у2).)
6. Даны векторы а = (3, |
- 2, 6) и Ь = ( - 2, 1, О). Найти |
координаты векторов: 2а- |
-&- Ь; -&- а - Ь; 2а +3Ь. (Ответ: |
(20/3, -13/3, 12); (3, -5/3,2); (О, -1,12).)
7. Найти координаты единичного вектора е, направлен
ного |
по биссектрисе угла, образуемого векторами а = |
=(2, |
-3,6) и Ь=(-I, 2, -2). (Ответ: е=(- -1-, |
'5 |
-{42 |
4)) |
|
• -{42' -{42 . |
|
8. Внекотором базнсе векторы заданы координатами:
а=(I, 1,2),el=(2,2, -1),е2=(0,4,8),ез=(-I, -1,3).
Убедиться, что векторы el, е2, ез образуют базис, и найти в
нем коордннаты вектора а. (Ответ: а = (1, О, 1).)
Самостоятельная работа
1. Найти длины диагоналей параллелограмма, постро
енного на векторах а=(3, -5,8) и Ь=(-I, 1, -4).
(Ответ: la+bI--=6, la-bl = 14--.)
2. Векторы АВ = (2, 6, -'-4) и АС = (4,2, -2) опреде-
--ляют стороны треугольника АВС. Найтн длнну вектора
CD, совпадающего с меднаной, проведеннои из вершины С.
(Ответ: (Cnl =,.[W.)
3. Найти координаты вектора с, направленного по
биссектрнсе угла между векторами а = ( - 3, О, 4) и Ь =
=(5,2,14). (Ответ: с=Л(-2, 1, 13), л>о.)
2.2.'ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
ВЕКТОРОВ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Отношением, в котором точка М делит отрезок М.М2, называется
,-- + -- +
чнсло Л, удовлетворяющее равенству М.М = ЛММ2• Связь между КО-
61
ордииатами делящей точки М(х, |
У, Z), |
точек MI(XI, YI, ZI), М2(Х2, У2, Z2) |
||||||||
и числом Л задается равеиствами: |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
ХI + ЛХ2 |
|
УI + ЛУ2 |
ZI + ЛZ2 |
|
|
||
|
Х= 1 +Л ,У= 1 +Л ' Z = |
1 +Л . |
|
|
||||||
Делеиие отрезка М.М2 будет внутренним, если Л> О, и внешним, |
||||||||||
если Л < О. При Л = |
1 точка М будет серединой отрезка М 1М2, |
Л =1= -1. |
||||||||
Пример |
1. |
Концы |
однородного |
стержня |
находятся |
в |
точках |
|||
MI(3, -5,8) и М2 (7, |
13, -6). Найти координаты центра масс стержня. |
|||||||||
~ Центр масс С(х, У, z) однородного стержня находится в его |
||||||||||
середине. Поэтому Л = 1 и |
|
|
|
|
|
|||||
Х= |
ХI +Х2 |
= |
3+7 =5, |
У= УI +У2 = |
-5+ 13 |
= |
4, |
|||
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|||
|
|
|
|
Z = ZI + Z2 = 8 - 6 = 1. ~ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
Скалярным произведением двух векторов а и Ь называется число, |
||||||||||
обозначаемое |
с = |
а· Ь и |
равное |
произведенню модулей даниых век |
||||||
торов на косинус угла между ними: |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
а·Ь= 1аllы cos «('ь), |
|
|
|
|||
где ({,'Ь) обоаначает меньший |
угол |
между иаправлениями |
|
векторов |
||||||
а и Ь. Отметим, что всегда О~((,\) ~ п.
Перечислим основные свойства скалярного произведения векторов: а·Ь=Ь· а; (Ла). Ь = Л(а • Ь) = а • (ЛЬ);
3)а· (Ь + с) = а . Ь + а . с;
4)а·ь=lаlпр.ь=Iы рьа;;
5)a.a=laI 2 ;
6)a·b=O~a-'-b.
Если а = (XI, |
YI, ZI), |
Ь = (Х2, У2, |
Z2), |
то в базисе i, j, k: |
|
|||
|
|
|
а· Ь = XIX2 + |
YIY2 + ZIZ2, |
|
|
||
|
'аl |
= -Vxf + yf +Z~, |
'ы |
= -v.r:x~:-+-~':""2+-Z":'~. |
|
|||
Обозиачим |
через |
а, |
~, l' углы, |
которые |
образует вектор |
а = |
||
=(XI, YI, ZI) |
С осями |
координат |
Ох, |
Оу, Oz |
соответственно |
(или, |
||
что ro же самое, с векторами i, j, k) . Тогда справедливы следующие
формулы:
а· i |
х. |
Z~' |
а· j |
УI |
Z~ , |
cos а= lar = -Vxf + y~+ |
cos ~= -тar = |
-Vxf + y~+ |
|||
а· k |
ZI |
|
,cos2a+cos2~+cos21'=I. |
|
|
cos1'=--= |
~хf+У~+z~ |
|
|||
'аl |
|
|
|
||
Величииы cos а, cos~, cos l'иазываются направляющими косину
сами вектора а.
Работа А силы F, произведенная этой силой при перемещении тела на пути 1s 1, определяемом вектором 5, вычисляется по формуле
А = F . s = |
!\ |
1F 11 s 1 cos (F, s). |
62
Пример 2. Вычнслнть работу равиодействующей F сил F. =
= (3, -4,5), F2 = (2, 1, -4), Fз = (-1,6,2), приложенных к материаль
ной точке, которая под их действием перемещается прямолинейно из
точки М.(4, |
2, -3) в точку М2 (7, 4, 1). |
--+- |
|
|
как F=F.+F2+Fз =(4, |
|
|
~ Так |
3, 3), M.M2=S=(3, 2, 4), |
то |
|
А = F . s = |
4 . 3 + 3 . 2 + 3 . 4 = 30. ~ |
|
|
АЗ-2.2
1. Даны две вершнны А(2, -3, -5), В( -1,3,2) парал лелограмма ABCD и точка пересечения его днагоналей Е(4, -1, 7). Найтн координаты остальных вершин парал лелограмма. (Ответ: С(6, 1, 19), D(9, - 5, 12).)
2. Отрезок, ограниченный точками А ( - 1, 8, - 3) н В(9, -7, -2), разделен точкамн ·М., М2, Мз, М. на пять равных частей. Найтн коордннаты точек М. н Мз.
(Ответ: M.(I, 5, -2), Мз(5, -1, О).)
3. |
Определить коордннаты концов А и В отрезка, кото |
|||||||
рый точками С(2, О, 2) и D(5, |
-2, О) разделен |
на три |
||||||
равные части. (Ответ: |
А( -1, |
2, |
4), |
В(8, |
-4, |
-2).) |
||
4. |
Векторы а н Ь образуют угол |
<р = 2л/3, и lal = 3, |
||||||
Ibl = |
4. Вычислить: а2; |
Ь2; |
(а |
+ |
Ь)2; |
(а - |
Ь)2; |
(3а |
-2Ь)·(а+2Ь). (Ответ: 9; 16; 13; |
37; -61.) |
|
|
|||||
~---+
5.Даны векторы ОА = а, ОВ = Ь, дЛЯ которых lal = 2,
IbI = |
4, «('Ь)= 600. Вычислить угол <р между медианой |
~ |
---+ |
ОМ и стороной ОА треугольника АОВ. (Ответ: cos <р =
=2/-{7, <p~41°.)
6. Определить работу силы F, 1FI = 15 Н, которая,
действуя на тело, вызывает его перемещеиие на 4 м под
углом л/3 к направлению действня силы. (Ответ: 30 Дж.)
7. Даны векторы а=(4, -2, -4} Ь=(6, -3,2). Вы
числить: а· Ь; а2; Ь2; (а+ Ь)2; (а _ь):2; (2а - 3Ь)· (а + 2Ь).
(Ответ: 22; 36; 49; 129; 41; - 200.)
8.Даны вершины треугольника АВС: А(-1, -2, 4), В( -4, -2, О), С(3, -2, 1). Вычислить внешний угол при вершине В. (Ответ: 3л/4.)
9.Под действием снлы F = (5, 4, 3) тело переместилось из начала вектора s = (2, 1, -2) в его конец. Вычислить
работу А силы F и угол <р между направлениями снлы и перемещения. (Ответ: А = 8, cos <р ~ 0,38, <р ~ 1,18 рад
или <р ~ 67040'.)
63
Самостоятельиая работа
t. Даны вершины четырехугольника A(I, -2, 2),
B(I, 4, О), С(-4, 1, 1), D(-5, -5,3). Вычислить угол q>
между его диагоналями. (Ответ: q> = 900.)
|
2. При каком значении а векторы а = ai - 3j + 2k и |
|||
Ь = |
i + 2j - |
ak |
взаимно перпендикулярны? |
(Ответ: а = |
= |
-6.) |
|
|
|
|
3. Найти координаты вектора Ь, коллинеарного век |
|||
тору а = (2, |
1, |
-1), при условии а· Ь = 3. |
(Ответ: Ь = |
|
=(1, 1/2, -1/2).)
2.3.ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
ИИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов а, Ь, с с общим началом в точке О называется правой, если кратчайший поворот от вектора а к вектору Ь наблюдается из конца вектора с происходящим
против движения часовой стрелки (рис. 2.7, а). В противном случае
данная тройка называется левой (рис. 2.7, б).
а
Рис. 2.7
ВеКТОРНЫAl nроuзведенuеAl векторов а и Ь называется вектор с, обо-
значаемый с = аХЬ, который удовлетворяет следующим трем условиям:
1)Icl = lallbl sin ~b);
2)с J.. а, с J.. Ь;
3)тройка а, Ь, с - правая (рис. 2.8).
Перечислим основные свойства векторного произведения векторов:
1)аХЬ= -(ЬХа);
2)(ла) ХЬ = л(аХЬ) = аХ (лЬ);
3)аХ(Ь+с)=аХЬ+аХс;
4)aXb=O*allb;
5) laXbl = S, где S - площадь параллелограмма, построенного иа векторах а и Ь, имеющих общее начало в точке О (см. рис. 2.8).
Если а = (XI, YI, ZI), Ь = (Х2, У2, Z2), то векторное произведение
аХЬ выражается через координаты данных векторов а и Ь следующим
образом:
64
[/, |
~,I=(IY' |
22 |
' - |
Х'2 |
2'2' |
Xl |
У::. |
. |
|
У2 |
22 |
"У2 |
2, |
I |
IХ, |
2, 1 1-" |
[/, 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
с IIО:'IОЩЬЮ векторного произведення можно П[,[ЧI1С.1ИТЬ еращающuй |
|||||||||
АЮ.1tСНТ М силы F, |
nрuложенной |
к |
точке |
В |
тела. |
заг.оеП,lсннn?,п Ii |
|||
ТО'/КС А: м=АВХF(рис. 2.9).
о
|
|
Рис. 2.8 |
Рис. 2.9 |
|
Пример |
1. Вычислить |
координаты вращающего момента |
М СИJJЫ |
|
F = (3, 2, |
1), |
прнложеНIIОЙ |
к точке А (-1, 2, 4), относит.елыlO |
начала |
координат |
О. |
|
|
|
~ Имеем
j
2 :1=(-6' 13, -8). <1
2
С.чсшаНН/Jl.ll произведенuе.М векторов а, Ь, с называется чис.lO
(аХЬ).с.
ПереЧИСЛIIМ основные свойства смешанного nроuзведснuя вскторов: 1) (а Х Ь)· с = а· (Ь Х с), поэтому смешанное произведение можно
обозначать проще: аЬс; |
|
|
|
2) |
аЬс = Ьса = саЬ = - Ьас = -сЬа = - асЬ; |
||
3) |
геометрический |
смысл |
смешанного произпедеНIIЯ заК.lючается |
в следующем: аЬс = ± |
v, где |
V - объем параллелепипеда, построен· |
|
наго на перемножаеМblХ векторах, ВЗЯТblЙ со знаком «+», если тройка
векторов а, Ь, с - |
правая, или |
со |
знаком |
«- |
», если |
она левая (см. |
рис. 2.7); |
|
|
|
|
|
|
4) аЬс = О*а, Ь, с компланарны. |
|
|
|
|||
Если а = (х" |
у[, 2,), Ь = (Х2, |
У2, |
22), С = |
(Хз, |
Уз, ZJ), |
то |
|
аЬс= I;~ |
~~ |
~: 1· |
|
|
. |
ХЗ |
уз |
2з |
Пример |
2. Даны векторы |
а = |
(1, |
3, 1), Ь = (-2, 4, -1), с = |
= (2, 4, - 6). |
Требуется установить, |
компланарны ли данные векторы, |
||
в случае их некомпланарности ВblЯСНИТЬ, какую тройку (правую или
65
левую) они nnl);JЗУЮТ, и вычислить объем построенного на них парал·
лелепипеда.
~ВЫЧИСЛИМ
аЬс = - |
I |
3 |
I |
I |
78. |
2 |
4 |
- I |
= - |
||
I |
2 |
4 |
-6 |
|
|
Из значения смешанного произведения следует, что векторы нскомпла·
нарны, образуют левую тройку и V = 78. ~
|
АЗ-2.3 |
|
|
1. Векторы а и Ь взаимно перпендикулярны, |
lal = 3, |
||
Ibl =4. Вычислить: |
laXbl; l(a+b)X(a-Ь)I; |
1(3a- |
|
-Ь)Х(а-2Ь)I. (Ответ: 12; |
24; 6.0.) |
|
|
2. Даны векторы |
а = (3, |
-1, -2), Ь = (1, |
2, -1). |
Найти координаты векторов: аХ Ь; (2а + Ь) Х Ь; (2а-Ь)Х
Х(2а+Ь). (Ответ: (5, 1,7); (10,2, 14); (20,4,28).)
3. Вычислить площадь треугольника АВС, если из-
вестно, что: А(I, 2, О), В(3, О, 3), С(5, 2, 6). (Ответ: 2-{13.)
4. Сила F = (2, 2, 9) приложена к точке А(4, 2, -3). Вычислить величину и направляющие косинусы момента
М этой силы относительно точки В(2, 4, О). (Ответ: |
IMI = |
|||
= 28, |
cos а = 317, cos /3 = 617, cos у = |
-217·) |
|
|
5. |
Даны вершины JIирамиды .А(2, |
О, 4), |
В(О, |
3, 7), |
С(О, О, 6), S(4, 3., 5). Вычислить ее объем V и высоту Н, |
||||
опущенную на грань ACS. (Ответ: |
V = 2, |
Н = |
2/-VЗ.) |
|
6. |
Лежат ли точки А(1, 2, -1), В(4, 1,5), |
С(-I, 2,1), |
||
D(2, |
1, 3) в одной плоскости? (Ответ: лежат.) |
|
||
_7. Компланарны ли~ледующие B~KTOPЫ: а) а = (2,3,1),
Ь-(1, 1,3), с-( 1,9, 11), б) а-(3, 2,1),
Ь=(2, 1,2), с=(3, -1, -2)? (Ответ: а) компланарны;
б) не компланарны.)
8. Выяснить, правой или левой будет тройка векторов а=(3, 4, О), Ь=(О, -4, 1), с=(О, 2, 5). (Ответ: левой.)
Самостоятельная работа
1.1) Дано: lal=10, Ibl=2, а·Ь=12. Вычислить laXbl (Ответ: 16.)
2)Вычислить площадь параллелограмма, построен
ного на векторах а=(О, -1, 1) и Ь=(I, 1, 1). (Ответ: 6.)
2. СилаF=(З,2, -4)приложснакточкеА(2, -1, 1). Найти вращающий момент М этой силы относительно
начала координат. (Ответ: М = (2, 11, 7):)
66
3. |
Вычислить объем V треугольной призмы, построен |
|||
ной на |
векторах а = (7, 6, 1), Ь = (4, О, 3), с = (3, 6, 4). |
|||
(Ответ: |
V = 24.) |
|
|
|
2.4. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К гл. |
2 |
|||
|
|
ИДЗ-2.1 |
|
|
1. |
даны векторы а = аm + /3п |
и Ь = уm + 6п, |
где |
|
1тI = |
|
k; In I = [; (fu)) = ер. Найти: а) |
(ла+ f.1b) . (va + тЬ); |
|
б) прв(vа+ .Ь); В) cos(.('.iъ).
1.1.а= -5, /3= -4, у=3, 6=6, k=З, [=5, ер= =5л/З, 1.,= -2, f.1= 1/3, v= 1, .=2. (Ответ: а) 2834.)
1.2.а= -2, /3=3, у=4, 6= -1, k= 1, [=3, ер=л,
л= 3, |
f.1 = 2, |
v = -2, • = |
4. |
(Ответ: а) -950.) |
|
1.3. |
а=5, |
/3= -2, У= -3, 6= -1, k=4, |
[=5, |
||
ер = 4л/3, 1.,= |
2, f.1 = 3, v = |
- |
1, • = 5. (Ответ: а) - |
1165.) |
|
1.4.а=5, /3=2, У= -6,6= -4, k=3, [=2, ер= =5л/3, 1.,= -1, f.1= 1/2, v=2, т=3. (Ответ: а) 416.)
1.5.а=3, /3= -2, У= -4,6=5, k=2, [=3, ер=
=л/3, |
1.,=2, f.1=-3, v=5, т=l. (Ответ: а) 750.) |
|
|
1.6. а=2, /3=-5, у=-3, 6=4, k=2, [=4, ер= |
|
= |
2л/3, 1.,=3, f.1 = -4, v = 2, • = 3. (Ответ: а) -2116.) |
|
|
1.7. а=3, /3=2, У= -4,6= -2, k=2, [=5, ер= |
|
= |
4л/3, ,), = 1, f.1 = -3, V= О, • = -1/2. (Ответ: а) 165.) |
|
|
1.8. |
а=5, /3=2, У= 1,6= -4, k=3, [=2, ер=л, |
л= 1, |
f.1 = -2, V= 3, • = -4. (Ответ: а) -583.) |
|
1.9.а= -3, /3= -2, У= 1,6=5, k.=3, [=6, ер= =4л/3, 1.,= -1, f.1=2, V= 1, . = 1. (Ответ: а) 1287.)
1.10.а=5, /3=-3, у=4, 6=2, k=4, [=1, ер= =2л/3, 1,=2, f.1= -1/2, v=3, т=О. (Ответ: а) 2337.)
1.11.а= -2, /3=3, у=3, 6= -6, k=6, [=3, ер= =5л/3,л=3, f.1= -1/3,v= l,т=2. (Ответ: а) -936.)
1.12.а= -2, /3= -4, у=3, 6= 1, k=3, [=2, ер=7л/3, 1.,= -1/2, f.1=3, V = 1, .=2. (Ответ: а) 320.)
1.13.а=4, /3=3, у= -1,6=2, k=4, [=5, ер=
=3л/2, 1.,=2, f.1 = -3, V= 1, т = 2. (Ответ: а) 352.)
1.14.а= -2, /3=3, у=5, 6= 1, k=2, [=5, ер=2л,
л = |
-3, |
f.1 = 4, |
V= |
2, т = |
3. |
(Ответ: а) 1809.) |
|
||
|
1.15. а=4, |
/3= -3, |
у=5, |
6=2, |
k=4, |
[=7, |
|||
ер= 4Л/3, |
л= -3, |
f.1 = |
2, |
v = |
2, т = |
-1._ |
(Ответ: |
||
а) |
-5962.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
67
1.16.а= -5, /3=3, у=2, &=4, k=5, [=4, <р=л, Л= -3, f..L= 1/2, v= -1, . = 1. (Ответ: а) 3348.)
1.17.а=5, /3=-2, у=3, &=4, k=2, [=5, <р= =л/2, л=2, f..L=3, V= 1, . = -2. (Ответ: а) -2076.)
1.18.а=7, /3= -3, у=2, &=6, k=3, [=4, <р= =5л/3, л=3, f..L= -1/2, v=2,.= 1. (Ответ: а) 1728.)
1.19.а=4, /3= -5, у= -1, &=3, k=6, [=3, <р=2л/3, л=2, f..L= -5, v= 1, .=2. (Ответ: а) 1044.)
1.20. а = |
3, |
/3 = - |
5, у = |
- 2, &= 3, k = 1, [= 6, |
<р=3л/2, л=4, f..L=5, v= 1, |
. = -2. (Ответ: а) 1994.) |
|||
1.21. а = |
-5, /3 = |
-6, у = |
2, &= 7, k = 2, [= 7, <р = л, |
|
л= :-2, f..L = |
5, |
v = 1, |
• = 3. |
(Ответ: а) 29767.) |
1.22. а= -7, /3=2, у=4, &=6, k=2, [=9, <р=
=11/3, л= 1, f..L=2, |
v= -1, .=3. (Ответ: а) 20758.) |
|||
1.23. а=5, /3=4, |
у= -6, &=2, k=2, [=9, <р= |
|||
=211/3, л=3, f..L=2, V= 1,.= -1/2. (Ответ: а) |
2751.) |
|||
1.24. а=-5, /3=-7, у=-3, &=2, k=2, [=11, |
||||
<р=311/2, л= -3, |
f..L=4, v= -1, |
.=2. |
(Ответ: |
|
а) 38587.) |
|
|
|
|
1.25. а=5, /3= -8, у= -2, &=3, k=4, [=3, <р= |
||||
=411/3, л=2, f..L= -3, |
v= 1, .=2. (Ответ: а) |
1048.) |
||
1.26. а= -3, /3=5, |
у= 1, &=7, |
k=4, 1=6, <р= |
||
=511/3, л = -2, f..L = 3, v = 3,.= -2. (Ответ: а) -2532.)
1.27.а = -3, /3 = 4, у = 5, &= -6, k = 4, [= 5, <р = л, л=2, f..L=3, v= -3, . = -1. (Ответ: а) 21156.)
1.28.а=6, /3- -7, у= -1, &= -3, k=2, [=6, <р=4л/3, л=3, f..L=-2, v=l, .=4. (Ответ: а) -12200.)
1.29.а=5, /3=3, у= -4, &= -2, k=6, [=3, <р=
= |
511/3, |
л = -2, |
f..L = |
-1/2, v = 3, |
• = 2. |
(Ответ: |
|
а) |
-2916.) |
|
|
|
|
|
|
|
1.30. а=4, /3= -3, у= -2, &=6, k=4, [=7, <р= |
||||||
=11/3, л=2, f..L= -1/2, v=3, .=2. (Ответ: а) |
-801.) |
||||||
|
2. По координатам точек А, В и С для указаННblХ |
||||||
векторов найти: а) |
модуль вектора а; б) |
скалярное произ |
|||||
ведение векторов а и Ь; в) |
проекцию вектора с на вектор d; |
||||||
г) |
координаТbI точки М, делящей отрезок 1 в отношении |
||||||
а: /3. |
|
|
|
|
|
---+ |
|
|
2.1. А(4, 6, 3), В(-5, 2, 6), С(4, |
-4, |
-3), а = |
||||
|
4СВ - |
||||||
|
---+ |
---+ |
---+ |
---+ |
[=АВ, а=5, /3=4. |
||
-АС, Ь=АВ, с=СВ, |
d=AC, |
||||||
(Ответ: а) |
.j4216; |
б) 314; г) (-1, 34/9, 14/3).) |
1), а = |
||||
|
2.2. А(4, 3, -2), В( -3, -1, |
4), |
С(2, 2, |
||||
|
---+ |
---+ |
~ |
~ |
~ |
|
|
= -5АС+2СВ, Ь=АВ, с=АС, d=CB, [=ВС, а=2,
/3=3. (Ответ: a).j82; б) -50; г) (-1, 1/5, 14/5).)
68
2.3. А( -2, -2,4), B(I, 3, |
~ |
||
-2), C(l, 4, 2), а = 2АС- |
|||
~ |
~ |
~ |
--:,.- |
- 3ВА, Ь = ВС, с = ВС, d = АС, 1= ВА, а = 2, /3 = 1.
(Ответ: а) -V1750; б) |
-53; г) (-1, -1/3,2).) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
2.4. А(2, 4, 3), В(3, 1, -4), C(-I, 2, 2), а=2ВА+ |
||||||||
~ |
~ |
|
~ |
|
|
а= 1, |
/3=4. |
|
+4АС, |
Ь=ВА, с=Ь, d=AC, |
[=ВА, |
||||||
(Ответ: |
а) -Узоо; б) |
78; г) (14/5, 8/5, -13/5).) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
2.5. А(2, 4, 5), B(I, -2,3), C(-I, -2,4), а=3АВ- |
||||||||
~ |
~ |
|
~ |
|
|
|
|
/3=3. |
-4АС, |
Ь=ВС, с=Ь, d=AB, |
[=АВ, |
а=2, |
|||||
(Ответ: |
а) 11; б) -20; |
г) (8/5,8/5,21/5).) |
|
|
||||
2.6. А(-I, -2,4), В(-I, 3, 5), C(I, 4, |
|
|
~ |
|||||
2), а=3АС- |
||||||||
~ |
~ |
|
~ |
|
|
а= 1, |
/3=7. |
|
-7ВС, |
Ь=АВ, с=Ь, d=AC, |
[=АС, |
||||||
(Ответ: а) ~ б) 70, |
г) (-3/4, -5/4, |
15/4).) |
|
|||||
2.7. А(I, 3, 2), В( -2, |
4, -1), |
С(I, 3, -2), а = |
~ |
|||||
2АВ + |
||||||||
--+- |
--+- |
|
--+- |
|
|
|
|
/3=4. |
+5СВ, |
Ь=АС, с=Ь, d=AB, |
[=АВ, |
а=2, |
|||||
(Ответ: а) -f49l, б) 4; г) (О, 10/3, |
1).) |
|
|
|
||||
2.8. А(2, -4,3), В( -3, -2,4), С(О, О, -2), а = |
~ |
|||||||
3АС- |
||||||||
--+- |
-- + --- + - |
|
|
|
|
/3=1. |
||
-4СВ, |
Ь=с=АВ, |
d=CB, |
[=АС, |
а=2, |
||||
(Ответ: а) -У1957; б) |
-29; г) (2/3, |
-4/5, -1/3).) |
||||||
2.9. А(3, 4, -4), В( -2, 1, 2), |
|
-3, |
1), а = |
~ |
||||
С(2, |
5СВ + |
|||||||
--+- |
--+- |
|
~ |
|
|
|
|
/3=5. |
+4АС, |
b=t=BA, |
d=AC, |
[=ВА, |
а=2, |
||||
(Ответ: |
а) -У1265; б) |
-294; г) (-4/7, |
13/7, |
2,7)} |
||||
2.10. А(О, 2, 5), В(2, |
-3,4), С(3, 2, -5), а = |
-3АВ + |
||||||
~ |
~----+- |
|
|
|
|
|
||
+4СВ, Ь=с=АС, d=AB, [=АС, а=3, /3=2. (Ответ:
а) -V 1646; |
б) -420; |
г) (9/5, 2, |
-1).) |
2.11. А( -2, -3, |
-4), В(2, |
-4, О), С(I, 4, 5), а = |
|
--+- |
~ |
~--+- |
|
=4АС-8ВС, Ь=с=АВ, d=BC, [=АВ, а=4, /3=2. |
|||
(Ответ: а) -У1777; б) 80; г) (2/3, -11/3, -4/3).) |
|||
2.12. А(-2, -3, |
-2), B(I, 4, 2), С(I, -3,3), а= |
||
--+- |
--+- |
~ |
~ |
=2АС-4ВС, Ь=с=АВ, d=AC, [=ВС, а=3, /3= 1.
(Ответ: а) -У856; |
б) 238; г) (1, -5/4, 11/4).)· |
|
2.13. А(5, 6, 1), |
В( -2,4, -1), С(3, -3,3), а = 3АВ- |
|
|
|
--- |
69
~~ ~
-4ВС, Ь=с=АС, |
d=AB, |
[=ВС, |
а=3, 13=2. |
|
(Ответ: а) ,)2649; б) |
-160; г) (1, -1/5,7/5).) |
|||
~ |
~ |
--- |
~ |
-4, -6), а= |
2.14. |
А(10, 6, 3), |
В( 2, 4, |
5), С(3, |
|
=5АС-2СВ, Ь=с=ВА, d=AC, [=СВ, а= 1,13=5.
(Ответ: а) ,)9470; б) -298; г) (13/6, |
-8/3, -25,6).) |
2.15. А(3, 2, 4), В( -2, 1, 3), С(2, -2, |
~ |
-1), а = 4ВС- |
~~ ~ ~
-3АС, Ь=ВА, с=АС, d=BC, [=АС, а=2, 13=4.
(Ответ: а) |
,)362; б) |
94; г) |
(8/3, |
2/3, 7/3).) |
. |
||||
|
2.16. А( -2,3, -4), В(3, |
-1,2), С(4, 2, 4), а = |
7АС + |
||||||
|
~ |
|
с |
~ |
~ |
|
|
|
--- |
+ 4СВ, Ь = |
= АВ, d = СВ, 1= АВ, а = 2, 13 = 5. |
(Ответ: |
|||||||
а) |
,)4109; |
б) |
554; г) (-4/7, 13/7, -16/7).) |
~ |
|||||
|
2.17. А(4, 5, 3), В( -4,2, 3), С(5, -6, |
-2), а = |
|||||||
|
9АВ- |
||||||||
- |
~ |
|
с |
~ |
~ |
|
|
|
(Отнет: |
4ВС, Ь = |
= АС, d = АВ, 1= ВС, а = 5,13 = 1. |
||||||||
а) |
,)12089; |
б) -263; г) (7/2, -14/3, |
-7/6).) |
|
|||||
|
2.18. А(2, 4, 6), |
В( -3, 5, 1), |
С(4, |
-5, -4), а = |
|||||
|
~ |
|
~ |
~ |
~ |
|
|
||
=-6ВС+2ВА, Ь=с=СА, d=BA, |
[=ВС, |
а=l, |
|||||||
13 = 3. (Ответ: а) ,)5988; б) |
986; г) ( - 5/4, 5/2, -1/4).) |
||||||||
|
2.19. А( -4, -2, |
-5), В(3, 7, |
2), С(4, 6, -3), а = |
||||||
|
~ |
~ |
|
~ |
~ |
|
|
||
= 9ВА +3ВС, Ь = с = АС, d = ВС, 1= ВА, а = 4, 13 = 3. |
|||||||||
(Ответ: а) |
|
,)16740; |
б) -1308; |
г) (-1,13/7, -2).) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
2.20. А(5, 4, 4), В(-5, 2, 3), С(4, 2, -5), а= l1АС- |
||||||||
|
--- |
|
~ |
~ |
~ |
[=ВС, а=3, 13=1. |
|||
-6АВ, Ь=ВС, с=АВ, d=AC, |
|||||||||
(Ответ: а) |
,)11 150; |
б) 1185; г) (7/4, 2, |
-3).) |
|
|||||
|
2.21. А(3, 4, 6), |
В( -4, 6, 4), |
С(5, |
-2, -3), а = |
|||||
|
~ |
|
~ |
~ |
~ |
~ |
|
||
= -7ВС+4СА, Ь=ВА, с=СА, d=BC, [=ВА, а=5.
13 = 3. (Ответ: а) ,) 18 666; б) -487; г) (3/8, 19/4,21/4).) 2.22. А( -5, -2, -6), В(3, 4, 5), С(2, -5, 4), а =
~~ ~ ~
=8АС-5ВС, Ь=с=АВ, d=BC, [=АС, а=3, 13=41
. (Ответ: а) ,)11387; б) 1549; г) (-2, -23/7, -12/7).)
~
2.23. А(3, 4,1), В(5, -2,6), С(4, 2, -7), а= -7АС+
~~ ~
+5АВ, Ь=с=ВС, d=AC, [=АВ, а=2, 13=3.
(Ответ: а) ,)6826; б) -1120; г) (19/5, 8/5, 3).)
70