RI_OCR[4]
.pdf2.28. |
lim |
л/х |
|
|
х-о |
ctg (5х/2) |
|
2.29. |
lim (1 - |
cos 2х) ctg 4х. |
|
|
х_О |
|
|
2.30. |
lim |
(х2 |
sin bjx). |
х_оо
3
3.1. |
lim |
|
arcsin 4х |
|
|
|
|
||
|
Х_О |
|
5 -5е 3х |
|
|
|
|
||
|
. |
|
eX'-1 |
|
|
|
|
|
|
3.3. 11т-- |
|
|
|
|
|||||
|
х-О |
cos х- I |
|
|
|
|
|
||
3.5. |
· |
e'gx_1 |
. |
|
|
|
|
||
11т |
|
|
|
|
|
|
|||
|
х-О tg х-х |
|
|
|
|
|
|
||
3.7. |
. |
cos х .1п·(х - |
а) |
. |
|
||||
11т |
|
lп (гХ - е") |
|
||||||
|
х-а |
|
|
|
|||||
3.9. |
· |
cos (ех' - |
|
1) |
. |
|
|
||
11т |
|
cosx-I |
|
|
|
||||
|
х-О |
|
|
|
|
|
|||
3•11 • |
· |
|
х!"-а" |
|
. |
|
|
|
|
11т |
|
х!' - d' |
|
|
|
|
|
||
|
х_а |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.13. |
1. |
|
3 tg 4х - |
12 tg х |
|||||
1т |
--=------=-- |
||||||||
|
Х_О |
|
3 sin 4х |
- |
12 sin |
х |
|||
3•15• |
· |
|
х(гХ + 1) - |
|
2(гХ - |
||||
11т |
|
|
|
..3 |
|
|
|
|
|
|
X_O~· |
|
|
|
|
||||
3.17. |
. |
|
аХ _a sinx |
|
|
|
|
||
11т |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
х-О |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.19. |
lim lп (cos ах) .. |
|
|
|
|||||
|
х-О |
|
lп (cos Ьх) |
|
|
|
|
||
3.21. |
. |
(1 |
|
1) |
|
||||
11т |
|
---- . |
|||||||
|
х-О |
|
Х |
|
гХ |
- |
1 |
|
|
3.23. |
lim |
|
lп (1 + хе') |
|
• |
||||
|
х-О |
|
lп (х + .../1 +r) |
|
|||||
3.25. |
· |
|
е4/х'_1 |
" |
|
|
|||
11т |
|
|
|
|
|
||||
|
х_оо 2 arctg r-л |
|
|
3..2 |
|
· |
lп cos х |
. |
|
||
|
11т |
|
|
|
|
||
|
Х_О |
х |
|
|
|
|
|
3.4. |
lim гХ-r/2-х-1 |
|
|||||
х-о |
cos х - |
|
r /2 - 1 |
|
|||
3.6. |
|
lim |
In (1 |
- |
|
х) +tg (лх/2) • |
|
|
|
х_1 |
|
|
|
ctg лх |
|
3.8. |
|
lim |
|
|
|
1 |
• |
|
|
х_1 |
cos (лх/2). 1п (1 - |
х) |
|||
3.10• |
· |
ea.r -cos ах |
|
||||
11т |
р |
|
|
• |
|
||
|
|
Х_О |
е х |
- |
cos j}x |
|
|
3.12. |
|
lim х |
sin.!!... . |
|
|||
|
|
х_оо |
|
|
6х |
|
|
3.14. |
|
· -.Jtg;-I |
|
||||
|
11m |
|
|
• |
|
||
|
|
х_п/4 2 sin2 х - 1 |
|
1)3 16 11'т arcsin 2х-2 arcsin х•
••• Х_О |
~ |
3.18.lim (tg X)t g 2x.
r_,./4
320. . |
' |
Vtgx-1 |
|
|
|||
11т |
2 sin |
2 |
х- |
1 |
• |
||
|
х_,./4 |
|
|
||||
3.22. |
lim х2 |
e- 0•01x • |
|
||||
|
х_оо |
|
|
|
|
|
|
3.24. |
liт (1 - |
X)log, х. |
|
||||
|
r_1 |
|
|
|
|
|
|
3.26.lim 'П 2x·ln (2х-l).
x_I/2
3.27. |
lim (_х_ __1_). |
3.28. lim arcsin Х· tg х. |
|
x_I/2 3х- 1 In 3х |
х-о |
3.29. |
liт (~e-X). |
3.30. lim (x-ly- I • |
|
<_00 |
х-I |
231
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.1'. |
lim(l-sin 2x)ctg x. |
4.2. |
liт (ln (ljx»". |
|
|
|
||||||||||||
|
х-+О |
|
|
|
|
|
|
|
|
х-+О |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.3. |
liт (cos x)<tg2 "', |
|
|
4.4. |
Iim х", |
|
|
|
|
|
||||||||
|
",-+о |
|
|
|
|
|
|
|
|
х-+О . |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.5. |
liт |
(In 2х)Ifln х, |
|
4.6. |
lim (1 +sin 2 X)I/tg ' "'. |
|
||||||||||||
|
х-оо. |
|
|
|
|
|
|
|
|
",-+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.7. |
lim (1 _ |
x)lnx, |
|
|
|
4.8. |
lim (ln (х +е» |
1/",, |
|
|
||||||||
|
",-+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
х-+О |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.9. |
Нт" (sin x)tg.t, |
|
|
|
4.10. |
liт :r;. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
",-+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
"'-+00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4;11. |
liт xSi~"', |
|
|
|
|
4.12. |
liт (1 _ |
х)соs (11"'/2)• |
|
|
||||||||
|
",-+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x--l |
|
|
|
|
|
' |
|
|
4.13. |
liт (1 +x2)I/"', |
|
4.14. |
lim Xl/(",-I), |
|
|
|
|
||||||||||
|
",-+о |
|
|
|
|
|
|
|
|
х-+I |
|
|
|
|
|
Ig (IIx;il) |
|
|
4.15. |
. |
( |
|
лх ) tg ("х/2} |
, |
4.16. |
. |
. ( |
|
лх) |
. |
|
||||||
11Ш |
|
tg - |
|
|
|
11т |
|
ctg- |
|
|
|
|||||||
|
х-+I |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
х-+I |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
11т |
С ),gX |
|
|
|
|
|
l'1т |
|
(Х-4) |
3z |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4.17. |
|
- |
|
. |
|
|
|
4.18. |
|
|
|
|
|
|||||
. |
|
|
|
|
|
х-+оо |
|
-- |
|
. |
|
|
||||||
|
",-+о Х |
|
|
|
|
|
|
|
Х+ 3 |
|
|
|
||||||
4.19. |
li~(ctg х)Оin"', |
|
|
4.20. |
lim |
|
(In X)I/X, |
|
|
|
||||||||
|
",-+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
"'-+00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.21. |
lim x6/(1+21n"'). |
|
4.22. |
Нт (1 - e")I/X, |
|
|
||||||||||||
|
"'..... "" |
|
|
|
|
|
|
|
"'-+00 |
|
|
|
|
|
|
|
||
4.23. |
liт (х- 1)1/ln(2(x-I», |
4.24. |
liт (cos туК. |
|
|
|||||||||||||
|
"'..... 00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
%__ 00 |
|
|
Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.25. Вт |
(ctg 2X)li |
1n |
"'. |
|
4.26. |
lim |
( |
|
1 |
|
|
5 . ) |
, |
|||||
|
|
|
--- |
|
|
|
||||||||||||
|
Х-+-О |
|
|
|
|
|
|
|
|
",-+б х-5 |
r-x-20 |
|
||||||
4.27. |
lim |
|
х2 |
sin~. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
X-+QO |
|
|
|
. Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.28. |
lim( |
|
1 |
|
|
_ |
|
1 |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нI |
|
2(1--";;) |
|
3(1- V;) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4.29. |
liт (1 - |
x)COS (""'/2). |
.4.30. |
liт (ctg x)sin х, |
|
|
||||||||||||
|
",-+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
",-+о |
|
|
|
|
|
|
|
|
5
5.1.liт x(ln (2 +х) -In (х + 1».
|
"'-+-ОО |
|
|
|
|
|
|
|
5.2. |
lim (cos т +Л sin ~)"', |
|
|
|
|
|||
|
%-+-00 |
+ |
_х |
Х |
|
|
|
|
5.3. |
lim (х |
2"')1/"', . |
5.4. |
'iш (1 |
3 tg2 |
x)ctg |
' х. |
|
|
х __ оо |
|
|
%_0 |
+ |
|
|
|
5.5. |
liт (cos (т/-..Гх)у |
5.6. |
lim (cos 2х)3/"". |
|
"'-+00 |
",-+о |
5.7.liт (In ctg x)tg ".
,,-+Q
5.9.limxl / 1n (e'-I).
5.11.Нт (1 +3/х)".
"-+00
,5.В. |
Нт (2 - |
x/a)tg (n"/(2a». |
|
||
|
Х...... |
|
|
|
|
5.10. |
. |
( |
5 |
)I/sinx |
. |
11т |
|
~~ |
|
,,-+0 2+-V 9 + x
5.12.Нт (е-' + X)I/X.
,,-+0
|
|
|
5.14. |
Нт (1. arctg х)Х. |
|
|
|
, |
|
%-+00 |
n |
5.15. |
liт ( |
, 1/'" |
5.1 6. |
lim ( |
1 +tgx) |
cos х). |
|||||
|
Х-+О |
cos2x |
|
Х-+90 , |
1 +sin х . |
5.17. |
Нт (cos (l/x) +sin (I/x»)". |
|
|
"-+00
5.1В. Iim(x_l)el/(Z~I) .
,,-+1
5.20. ,Iim ( r+ 1 )'"
- ,,2 -- •
""-'00 х'-2
5.22. Нт (Sin1. + cos 1.)".
%........ 00 |
Х |
Х |
5.23. Нт-vcos v.
,,-+Q- ,',' -
5.25.' Нт (х+а)Х.
·( tg х)1/х'
5.19.11т -- •
Х-+О |
Х |
, ' |
|
5.21. lim -v1 - |
|||
2х. |
|||
х-.-о |
|
' |
5.24. lim (1 +sin лх)сtg ПХ.
'x_l |
:. |
5.26. lim Xl/~.
%-+00' Х:- а
5.27. |
ljm x3/(4+ln ,,). |
5.2В. |
Iim x·in х. |
||
|
|
|
|
|
,,-'>1) |
,5.29. |
, |
Ig" |
. |
5.30. |
r |
lim(..!...) |
|
Нт хЗ-2 -х+2. |
|||
|
Х-+О х _ |
|
|
х-+l iё -7х + 6 |
'с помощью дифференциала приближенно вычислить
данные величины и оценить допущенную относительную
погрешность (с точностью до двух знаков после запятой).
|
|
6 |
|
6.1. |
;j34. |
6.2. i/26,19. |
|
6.3. |
i/ 16,64. |
6.4. ";В,76. |
|
6.5. |
VЗl, |
6.6. |
V1O. |
6.7. |
(2,01)3 + (2,01)2. |
6.В. |
ij65. |
6.9. 2,9/";(2,9)2 + 16. |
6 10 |
, ... ---- |
4-3;02 |
||
|
•• |
1 +3,02 . |
6.11. i/ 15,В. |
6.12. |
-vw. |
6.13. -v200.- |
6.14. |
(3,03)5. |
23):1,
6.1 5. |
|
(2,037)2 - 3 |
|
. |
6.16. V130. |
|
|
|
|
|
(2,037)2 +5 |
|
|
|
|
6.17. -127,5. |
|
|
6.18. -{17. |
|
|||
6.19. -..)640. |
|
|
6.20. --{l:2. |
|
|||
6.21. |
IJJ~ |
|
|
6.22. (3,02)4 +(3,02)3. |
|||
~ |
|
1025. |
|
|
|||
6.23. (5,07)3. |
|
|
6.24. (4,01)1.5. |
|
|||
6.25. -11,02. |
|
|
6.26. cos 151 о. |
||||
6.27. arctg 1,05. |
|
|
6.28. cos 61 о. |
|
|||
6.29. tg 440. |
|
|
6.30. arctg 0,98. |
||||
|
|
|
|
|
|
7 |
|
7.1. |
arcsin 0,6. |
7.2. |
arctg 0,95. |
7.3. еО•2•. |
|||
7.4. |
Ig 11. |
7.5. |
arcsin 0,54. |
7.6. cos 59°. |
|||
7.7. |
е2•О1 • |
|
7.8. |
'П tg 46°. |
7.9. агсtg-Jl,02. |
||
7.10. arctg-..)0,97. |
7.11. |
arctg 1,01. |
7.12.ln(e2 +O,2). |
||||
7.13. arctg 1,03. |
7.14. |
'П tg 47°15'. |
7.15. Ig9,5. |
||||
7.16. arctg-{3.i. |
7.17. |
22.1. |
7.18. 41,2. |
||||
7.19. tg 59°. |
. 7.20. |
IOg2 1,9. |
7.21. arctg-,f3:2. |
||||
7.22. ctg 29°. |
7.23. |
sin 93°. |
7.24. Ig 1,5. |
||||
7.25. sin 29°. |
.7.26. |
Ig 101. |
7.27. sin 31°. |
||||
7.28. Ig 0,9. |
7.29. |
еО•25 • |
7.30. -{l5. |
Решение типового варианта Найти указанные пределы, используя правило Ло·
питаля.
1. lim In (x2 +1).
х_оо !!.J3x-l
~ Так как под знаком предела числитель и знаме: натель дроби' стремятсSl к бесконечности при х-- 00, то
00
приходим к неопределенности вида _е. Следовательно,
00
можно применить правило Лопиталя. Имеем:
* При нахождении пределов условимся использовать следующие символические записи. Если функции и(х) и v(x) при х-хо или х- ± 00
стремятся соответственио к О и |
О, |
или к |
00 и |
00·; или к О и 00, |
или |
|
к 1 и 00 и т. д., будем писать: |
lim (.!:.) |
= 00' |
или lim.!:. = ~, |
или |
||
.. |
|
v |
|
v |
00 |
|
Iim(uv)=O.oo, или limu'=l"" и |
т. д. |
|
|
|
|
2:14
|
|
|
liт |
lп (r+ 1) = ~ = |
|
liт |
2х/(х2 + 1) |
|
|
|||||||||
|
|
|
х_оо |
J..!Зх-1 |
|
00 |
|
|
х_оо з/J..!(Зх-1)4 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
= ~ |
lim |
х J..!(ЗХ-1)4 |
= ~ = |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
з |
х_оо |
|
r |
+ |
1 |
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
4 |
(Зх~ 1) -1/5. 3'\ |
|
|
|||
|
|
|
_ |
2 |
|
"(Зх-:.О~ + Х· - |
5 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
" . |
|
|
|||||
|
|
|
- 3 |
|
|
|
|
|
2х |
|
|
|
- |
|
|
|||
|
|
= |
2 |
,. |
|
Щх-5, |
12х |
= |
• I ,. |
|
27х-5 |
|
|
|||||
|
|
---1 |
|
1т |
|
|
|
|
. |
|
- |
1т |
----- ' - , -- |
|
||||
|
|
|
з |
х_оо |
|
!ох s Зх ~ 1 |
|
|
15. х_оо |
.f |
VЗх - |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
'. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
= 2- lim 27-5/х =0. ~ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
15 х_оо |
J..!ЗХ _ |
1 |
|
|
|
|
|
|||
2. |
|
|
|
1- sin х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
tlf 2х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
~ При х-+л/2 получаем |
неопределенность |
о |
||||||||||||||||
вида о' |
||||||||||||||||||
Применяем правило Лопиталя: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
, . |
1 - sin х |
|
О |
|
,. |
|
|
- cos х |
|
|
||||||
|
|
|
1т |
|
2 |
2х |
= - =Im ------- |
|||||||||||
|
|
х_п/2 |
|
tg |
|
О |
|
x""'''f2 |
|
2х |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 tg |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2х |
|
|
|
|
= |
|
lim |
|
-cos3 2x·cosx" |
|
1 ,. |
|
( |
з 2 ) |
|
|||||||
|
|
х_,,/2 |
|
|
4 sin 2х |
|
|
, |
4'X-!.~2 |
- |
cos |
х Х |
||||||
liт |
|
.cos х |
|
= |
1- .1 |
liт |
__1_ = |
|
|
|
||||||||
Х х_п/2 2 slП ХCOS Х |
|
4 |
|
х.....,,/2 |
2 sin |
х |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
l' |
|
1 |
~ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
=4·1·"2=8' |
|
|
|
||||||||
3. |
liт |
arctg 4х . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
х.....о |
е5х - |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
~ |
Имеем неопределенность вида |
~, которую раскры |
||||||||||||||||
ваем с помощью правила Лопиталя: |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
liт |
arctg 4х |
= liт (4/(1 + 16х2») = ..!. |
~ |
|
|||||||||||
|
|
|
х_О е5х - |
|
1 |
|
х_О |
|
|
5е Бх |
|
|
5 |
|
|
|||
4. |
liт ( |
|
1 |
|
|
_ |
|
|
3 |
|
|
) |
|
|
|
|
||
|
х-О |
2- "";4+r |
"";16 +х-4 . |
|
|
|
|
~Имеем неопределенность вида 00 - 00. Преобра-
зуем ее к виду ~ :
235
11· |
т (1 |
- |
3) = 00 |
- 00 = |
,,-+-О 2 - .y4+r |
-V16 |
+х - 4 |
|
|
|
= liт ~-4-6+3.... |
f4+j =.Q. = |
||
|
нО (2-... |
j4+r)(.y16+x-4) |
.о |
|
= lim ____1..:../...:....(2--.:.y~1_6...:...+_x...:.... |
)+-'---3X...:.../~.y~4...;+~r___----"'= |
|||
,,-+-о _ |
_ ~(.y16+x-4) + |
_~(2- .y4+r) . |
||
|
-y4+r |
|
2 -у 16+х |
|
|
= |
1/8 = |
00 .... |
|
|
|
О· |
...... |
|
5.liт (r2+ЗХ-4)".
х..... "" x-х+З
~Имеем"неопределенность вида 100. Введем обозна-
чение у =( r 2+ 3х- 4)". Тогда |
|
|
||
х -х-З |
|
|
|
|
|
|
In r+Зх-4 |
|
|
. liт ln у = |
liт |
. r-х-З = |
.Q. = |
|
х..... "" |
х..... "" |
I/x |
|
О |
r - х - 3 (2х -+ З) (r - х - З) - (2х - 1) (х2 + 3х - 4) |
||||
= lim r+Зх-4 |
|
(r -х-З)2 |
|
|
х..... "" |
|
_1/x2 |
|
|
= liт (( _х2 (2х3 - 2х2 -6х+зх2 - |
3х - 9 - 2х3 - 6х2 + |
|||
х..... "" |
4)j«(x2 +3х - |
|
|
|
+ 8х +х2 + 3х - |
4) (х2 - |
х- 3))-1 = |
||
=lim |
-r(-4r +2x~ JЗ) |
= 4. |
х"-+"" (r+Зх-4)(r-х-З)
. Так как
Inlim (r+ЗХ-4)"=4,'
х..... оо r- х-З
то
с помощью дифференциала приближенно вычисл):{'Гь
данные величины и оценить допущенную относительную
погрешность (с точностью до двух знаков после запятой).
6. -vs4.
236
~ Представим данную величину в виде {f84 =
=i/43 +20 и введем функцию y=Vx, где x=xo+L\x; |
||
хо = 64; |
Ах= 20. Воспользуемся формулой у(хо +L\x)~ |
|
~ у(хо) |
+y'(Xo)L\x. Получим: |
|
y(xo)=i!64=4, у'= зW' у'(64)= 3\6 = 4~· |
||
Вычисляем |
|
|
|
.}Г;;-; |
20 |
|
-v 84 ~ 4 |
+ 48 =4,42. |
Относительная погрешность
(, = 4,42-4,3 4,42
7. arctg 0,98.
.100 % =2,7 %. ~
~Воспользуемся той же схемой:
У = arctg х, |
хо = 1, |
L\x = 0,98 - |
1 = -0,02, |
|
у(хо) = arctg 1 = :тtj4, |
||||
у'= l~r' у'(I) =0,5, |
агсtgО,98~:тtj4-0,5.0,02=О,77, |
|||
{, _I0,77 - |
0,78/ |
• 100 %- |
13 % ..... |
|
- |
0,77 |
0 - |
о· ..... |
НД3-6.4
1. Решить следующие задачи.
1.1. Полотняный шатер объемом V имеет форму пря
мого конуса. Каково должно быть отношение высоты
конуса к радиусу его основания, чтобы на шатер пошло
наим~ньшее количество полотна? (Ответ: -(2.)
1.2. В равнобедренный треугольник с основанием а
иуглом при основании а вписать параллелограмм
наибольшей площадью так, чтобы одна из его сторон
лежала на основании, а другая на боковой стороне
треугольника. Найти длины сторон параллелограмма.
(Ответ: а/2 и aj(4 COS а).)
1.3.Найти соотношение между радиусом R и высотой
Нцилнндра, имеющего при данном объеме V наимеиь
шую полную поверхность. (Ответ: Н = 2R.)
1.4. Требуется сделать коническую воронку с обра-
237
зующей, равной 20 см. Какой должна быть высота ворон
ки, чтобы ее объем был наименьшим? (Ответ: 20-/3/3 см.)
1.5. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р.
Каково должно быть его основание, чтобы объем тела,
образованного вращением этого треугольника вокруг его основания, был наибольшим? (Ответ: р/2.)
1.6. Найти высоту конуса наибольшего объема, кото рый можно вписать в шар радиусом R. (Ответ: 4R/3.)
1.7. Проволокой, длина которой 1 м, необходимо ого
родить клумбу, имеющую форму кругового сектора. Ка ким должен быть радиус круга, чтобы площадь клумбы
была наибольшей? (Ответ: 1/4 м.)
1.8.Определить наибольшую площадь прямоугольни
,{а, вписанного в полукруг радиусом а. (Ответ: а2.)
1.9.Бревно длиной 20 м имеет форму усеченного ко
нуса, диаметры оснований которого равны 2 м и I м.
Требуется вырубить из бревна балку с квадратным попе
речным сечением, ось которой совпадала бы с осью
бревна, а объем был бы наибольшим. Каковы должны быть размеры балки? (Ответ: длина балки 40/3 м, сторона
поперечного сечения 2-{2/з м.)
1.10. С корабля, который стоит на якоре в 9 км от бере га, нужно послать гонца в лагерь, расположенный в 15 км
от ближайшей к кораблю точки берега. Скорость по сыльного при движении пешком - 5 км/ч, а на лодке - 4· км/ч. в каком месте он должен пристать к берегу, чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время? (Ответ: в 3 км
от лагеря.)
1.11. Полоса жести шириной а, имеющая прямо угольную форму, должна быть согнута в виде открытого кругового цилиндрического желоба так, чтобы его сечение
имело форму сегмента. Каким должен быть центральный
угол <р, опирающийся на дугу этого сегмента, чтобы
вместимость желоба была наибольшей? (Ответ: <р = :n.) 1.12. Из круглого бревна диаметром d надо вырезать
балку прямоугольного сечения. Каковы должны быть ши рина Ь и высота h этого сечения, чтобы балка, будуч'И горизонтально расположенной и равномерно нагруженной,
имела наименьший прогиб? (Величина прогиба обратио
пропорциональна произведению ШИРИНf:tI Ь поперечного
сечения и куба высоты h.) |
(Ответ: Ь = d/2, h = d-УЗ/2.) |
1.13. Стоимость железнодорожной перевозки груза на |
|
I км (АВ) равна k 1 р., а |
автомобильной (Ре) - k 2 р. |
238
(k. <:: k2 ). В каком месте Р надо иачать строительство
шоссе, чтобы возможно дешевле доставлять груз из
пункта А в С? Известно, что 'АВ' = а, ,ВС, = Ь
(рис. 6.15). (Ответ: на расстоянии а - |
k.b |
от точ- |
|
. -Vk~-k~ |
|
ки А.)
А |
Рис. 6.15 |
1.14. Человеку нужно добраться из пункта А, находя
щегося на одном берегу реки, в пункт В на другом ее
берегу. Зная, что скорость движения по берегу в k раз
больше скорости движения по воде, определить, под каким
углом человек должен пересечь реку, чтобы достнчь пунк
та В в кратчайшее время. Ширина реки h, расстояние
между пуиктами А и В (вдоль берега) равно а. (Ответ:
тах (arccos (l/k), arctg (h/a».)
1.15. На прямолинейном отрезке АВ, соедиияющем два источника света: А (силой р) и В (силой q), найтн точf<y
М, освещаемую слабее всего, если 'АВ' = а. (Освещен
ность обратно пропорциональна квадрату расстояния от
источника света.) (Ответ: на расстоянии аVP от тоЧ-
W+~
ки А.)
1.16. Лампа висит над центром круглого стола ра диусом г. При какой высоте лампы над столом освещен ность предмета, лежащего на его крае, будет наилучшей? (Освещениость прямо пропорциональна косинусу угла падения лучей света и обратно пропорциональна квадрату
расстояния от источника света.) (Ответ: r/-{i.)
1.17.Из всех цилиндров, вписанных в данный конус, найти тоТ, у которого боковая поверхность наибольшая. Высота конуса Н, радиус основания R. (Ответ: радиус
основания цилиндра R/2. высота Н/2.)
1.18.Из бумажного круга вырезан сектор. а изостав
шейся его части склеена коническая воронка. Какой угол
2э9
должен иметь вырезанный сектор, чтобы объем ВОРОНКИ
был наибольшим? (Ответ: 2л-.J2/3.)
1.19. Из всех конусов с данной боковой поверхностью S найти тот, у которого объем наибольший. (Ответ: радиус
основания конуса -у S |
,высота _ /s(зл-l) .) |
|
л-ГЗ |
v |
л-ГЗ |
1.20. Пункт В находится на расстоянии 60 км от же
лезной дороги. Расстояние по железной дороге от пунк
та А до ближайшей к пункту В точки С составляет 285 км. На каком расстоянии от точки С надо построить станцию,
от которой проложат шоссе к пункту В, чтобы затрачивать
наименьшее время на передвижения между пунктами
А и В, если скорость движения по железной дороге равна 52 км/ч, а скорость движения по шоссе - 20 км/ч. (От
вет: 25 км.)
1.21. Канал, ширина которого а м, под прямым углом впадает в другой канал шириной Ь м. Определить наиболь
шую длину бревен, которые можно сплавлять по этой
системе каналов. (Ответ: (а2/З + Ь2/З)З/2 м.)
1.22.Найти высоту прямого кругового конуса наимень шего объема, описанного около шара радиусом R.
(Ответ: 8R.)
1.23.При каком наклоне боковых сторон равнобедрен
ной трапеции площадь ее будет наибольшей, если боковые
стороны равны Ь, а меньшее основание а. ( Ответ: cos qJ =
=(-.Ja2 +8b 2 -а)/(4Ь).)
1.24. Из фигуры, ограниченной кривой у = з-..г;с и пря
мыми х = 4, У = О, вырезать прямоугольник наибольшей площадью. (Ответ: S = 9,22.)
1.25. Равнобедренный треугольник, вписанный в
окружность радиусом R, вращается вокруг прямой, кото
рая проходит через его вершину параллельно основанию.
Какой должна быть высота этого треугольника, чтобы
тело, полученное в результате его вращения, имело наи
больший объем? (Ответ: 5R/3.)
1.26. Требуется изготовить открытый цилиндрический
бак вместимостью v. Стоимость 1 м2 материала, из кото
рого изготавливается дно бака, составляет Р, р., а стои
мость 1 м2 материала, идущего на стенки бака,- Р2 р.
При каком отношении радиуса дна к высоте бака затраты
на материал будут минимальными? (Ответ: Р2/Р,.)
1.27. Сосуд с вертикальными стенками высотой Н, на-
240